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柔性直流输电系统显式模型预测低复杂度控制技术

张虹 孔冠荀 杨杨 葛得初 代宝鑫

张虹, 孔冠荀, 杨杨, 等. 柔性直流输电系统显式模型预测低复杂度控制技术[J]. 现代电力, 2020, 37(1): 90-97. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2019.0232
引用本文: 张虹, 孔冠荀, 杨杨, 等. 柔性直流输电系统显式模型预测低复杂度控制技术[J]. 现代电力, 2020, 37(1): 90-97. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2019.0232
ZHANG Hong, KONG Guanxun, YANG Yang, etc. Explicit Model Predictive Control and Low Complexity Technology of VSC-HVDC[J]. Modern Electric Power, 2020, 37(1): 90-97. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2019.0232
Citation: ZHANG Hong, KONG Guanxun, YANG Yang, etc. Explicit Model Predictive Control and Low Complexity Technology of VSC-HVDC[J]. Modern Electric Power, 2020, 37(1): 90-97. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2019.0232

柔性直流输电系统显式模型预测低复杂度控制技术

doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2019.0232
基金项目: 吉林省科技计划重点研发项目(20180201010GX)
详细信息
    作者简介:

    张虹(1973),女,博士,副教授,研究生导师,研究方向为电力系统稳定与控制,E-mail:jdlzh2000@126.com

    孔冠荀(1992),男,硕士研究生,研究方向为电力系统分析、稳定与控制等,E-mail:1251930414@qq.com

  • 中图分类号: TM722

Explicit Model Predictive Control and Low Complexity Technology of VSC-HVDC

图(8) / 表 (1)
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-03-23
  • 网络出版日期:  2020-06-22
  • 刊出日期:  2020-02-01

柔性直流输电系统显式模型预测低复杂度控制技术

doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2019.0232
    基金项目:  吉林省科技计划重点研发项目(20180201010GX)
    作者简介:

    张虹(1973),女,博士,副教授,研究生导师,研究方向为电力系统稳定与控制,E-mail:jdlzh2000@126.com

    孔冠荀(1992),男,硕士研究生,研究方向为电力系统分析、稳定与控制等,E-mail:1251930414@qq.com

  • 中图分类号: TM722

摘要: 建立电压源型换流器的高压直流输电系统三阶分段仿射系统模型。针对传统的模型预测控制需要滚动优化的缺点,应用显式模型预测控制的方法,通过多参数二次规划来对状态空间进行凸划分,将原本大量的在线控制计算过程转移到离线阶段进行预计算。为降低其离线计算的复杂度,引入分离函数和误判点的概念,通过严格分离饱和分区的方法,减少需要预计算和划分的分区数量,也间接加快了在线计算时状态量搜索对应分区的速度。通过仿真分析验证了嵌入分离函数后,在负载突增和系统参数变化等环境下显式模型预测控制的控制性能。

English Abstract

张虹, 孔冠荀, 杨杨, 等. 柔性直流输电系统显式模型预测低复杂度控制技术[J]. 现代电力, 2020, 37(1): 90-97. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2019.0232
引用本文: 张虹, 孔冠荀, 杨杨, 等. 柔性直流输电系统显式模型预测低复杂度控制技术[J]. 现代电力, 2020, 37(1): 90-97. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2019.0232
ZHANG Hong, KONG Guanxun, YANG Yang, etc. Explicit Model Predictive Control and Low Complexity Technology of VSC-HVDC[J]. Modern Electric Power, 2020, 37(1): 90-97. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2019.0232
Citation: ZHANG Hong, KONG Guanxun, YANG Yang, etc. Explicit Model Predictive Control and Low Complexity Technology of VSC-HVDC[J]. Modern Electric Power, 2020, 37(1): 90-97. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2019.0232
    • 在全球能源互联的大背景下,要积极开发利用清洁能源,也要在保证电力系统运行可靠性的前提下,尽可能地提高线路的输送能力。将全控型电力电子器件应用于高压直流输电线路中的柔性直流输电(voltage source converter based high voltage direct current transmission, VSC-HVDC)系统,是一种可以极大地提高线路输电效率的系统形式[1]。与常规的高压直流输电系统相比,VSC-HVDC系统可以对有功和无功功率进行独立控制;无需改变电压极性,只需调整直流电流的方向即可实现潮流的快速翻转。其中由IGBT构成的换流器具有四象限运行的能力,即在外特性上等价于一个发电机。因此,柔性直流输电系统在孤岛供电,可再生能源并网以及远距离负荷送电等领域都拥有广阔的应用前景[2]

      对电压源换流器(voltage source converter, VSC) 的控制是整个系统的核心,因此,对于换流站的控制策略和控制方法的研究成为了当前研究的热点。文献[3]提出电流内环和电压外环的传统控制策略,实现了有功和无功功率的解耦控制,但是因为解耦的需要也加入了受电路参数影响的前馈补偿。文献[4]在电压外环上添加一个到电流内环的预测控制输入,弥补了反馈信号的滞后。但是传统双环控制结构复杂、PI参数较多且整定困难和难以实现多目标优化控制等缺点并未得到有效解决。文献[5]中选用整流侧直接功率控制和逆变侧直接交流电压控制的控制策略,并用模型预测控制代替了电流内环控制,提高了控制响应速度,同时还实现了多目标优化的目的。但模型预测控制(model predictive control, MPC) 所使用的滚动时域优化方法依旧没有解决实时控制较难的问题。文献[6]构建了整流侧定直流电压和无功功率以及逆变侧定有功功率和无功功率的控制策略,并在MPC的基础上提出了显式模型预测控制(explicit model predictive control, EMPC)来弥补MPC在动态性能上的不足,实现了EMPC与VSC-HVDC系统的有效结合。EMPC通过将大部分的在线计算过程都转移到离线部分进行计算的方法有效缩短了在线计算时间,但离线部分的计算量,在增加了离线计算时间的同时也对硬件的存储容量提出了极高的要求。

      为降低EMPC运算的复杂度,文献[7]采用可达分区法减少了在线计算时判断状态量所属多面体分区的时间,提高了系统的实时性。但并没解决离线计算复杂和硬件要求高的问题。文献[8]构建一个次优化功能函数$\tilde k\left( x \right)$,令其功能上近似等效于原函数k(x)的同时,在状态空间中尽可能减少分区数量,从而降低离线计算的复杂度,但无法避免在近似等效时所产生的误差。

      本文基于EMPC方法对VSC-HVDC进行控制,采用分离函数法,降低离线计算的复杂度,并在MATLAB/Simuink环境下进行仿真分析验证EMPC在嵌入分离函数后的控制性能。

    • 假设交流网络足够强大,可以直接被建模为交流电压源,并提供平衡的正弦电压和恒定的幅值与频率,同时忽略桥臂电阻和电感,则根据图1所示可推导出整流侧与逆变侧的数学模型[9]

      图  1  VSC-HVDC系统模型

      Figure 1.  VSC-HVDC system model

      不计及换流器开关损耗,d-q轴坐标系下整流侧交流系统的电压降可表示为如下形式:

      $$ \left\{ \begin{aligned} & {L_{L1}}\frac{{{\rm{d}}{I_{L1d}}}}{{{\rm{d}}t}} + {R_{L1}}{I_{L1d}} - {\omega _1}{L_{L1}}{I_{L1q}} = {U_{L1d}} - {U_{1d}}\\ & {L_{L1}}\frac{{{\rm{d}}{I_{L1q}}}}{{{\rm{d}}t}} + {R_{L1}}{I_{L1q}} + {\omega _1}{L_{L1}}{I_{L1d}} = {U_{L1q}} - {U_{1q}} \end{aligned} \right. $$ (1)

      整流器吸收的有功功率P1和无功功率Q1,可表示为

      $$ \left\{ \begin{aligned} & {P_1} = \frac{3}{2}({U_{1d}}{I_{L1d}} + {U_{1q}}{I_{L1q}})\\ & {Q_1} = \frac{3}{2}({U_{1q}}{I_{L1d}} - {U_{1d}}{I_{L1q}}) \end{aligned} \right. $$ (2)

      当忽略换流器的的开关损耗时,可认为换流器从交流系统吸收的有功功率P1与换流器输出的有功功率PC1相等,即

      $$ {P_1} = {P_{C1}} = {I_{C1}}{U_{C1}} $$ (3)

      式中:IC1为直流线路电流。

      根据基尔霍夫定律可得到如下关系式:

      $$ {I_{CC}} = \frac{{{U_{C1}} - {U_{C2}}}}{{{R_C}}} $$ (4)
      $$ C\frac{{{\rm{d}}{U_{C1}}}}{{{\rm{d}}t}} = {I_{C1}} - {I_{CC}} $$ (5)

      将公式(2)~(4)代入公式(5)中可得:

      $$ \left\{ {{C_1}\frac{{{\rm{d}}{U_{C1}}}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{3{U_{L1d}}{I_{L1d}}}}{{2{U_{C1}}}} + \frac{{3{U_{L1d}}{I_{L1d}}}}{{2{U_{C1}}}} - \frac{{{U_{C1}} - {U_{C2}}}}{{{R_C}}}} \right. $$ (6)

      因此,联立公式(1)与公式(6),整理后可得VSC-HVDC系统整流侧的三阶数学模型为

      $$ \left\{ \begin{aligned} & \frac{{{\rm{d}}{i_{L1d}}}}{{{\rm{d}}t}} = - \frac{{{R_{L1}}{I_{L1d}}}}{{{L_{L1}}}} + {\omega _1}{I_{L1q}} + \frac{{{U_{L1d}} - {U_{1d}}}}{{{L_{L1}}}}\\ & \frac{{{\rm{d}}{i_{L1q}}}}{{{\rm{d}}t}} = - {\omega _1}{I_{L1d}} - \frac{{{R_{L1}}{I_{L1q}}}}{{{L_{L1}}}} + \frac{{{U_{L1q}} - {U_{1q}}}}{{{L_{L1}}}}\\ & \frac{{{\rm{d}}{U_{C1}}}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{3{U_{L1q}}{I_{L1q}}}}{{2{C_1}{U_{C1}}}} + \frac{{3{U_{1d}}{I_{L1d}}}}{{2{C_1}{U_{C1}}}} - \frac{{{U_{C1}} - {U_{C2}}}}{{{C_1}{R_C}}} \end{aligned} \right. $$ (7)

      同理可得VSC-HVDC系统逆变侧的三阶数学模型为

      $$ \left\{ \begin{aligned} & \frac{{{\rm{d}}{I_{L2d}}}}{{{\rm{d}}t}} = - \frac{{{R_{L2}}}}{{{L_{L2}}}}{I_{L2d}} + {\omega _2}{I_{L2q}} + \frac{{{U_{2d}} - {U_{L2d}}}}{{{L_{L2}}}}\\ & \frac{{{\rm{d}}{I_{L2q}}}}{{{\rm{d}}t}} = - \frac{{{R_{L2}}}}{{{L_{L2}}}}{I_{L2q}} - {\omega _2}{I_{L2d}} + \frac{{{U_{2q}} - {U_{L2q}}}}{{{L_{L2}}}}\\ & \frac{{{\rm{d}}{U_{C2}}}}{{{\rm{d}}t}} = - \frac{{3{U_{L2q}}{I_{L2q}}}}{{2{C_2}{U_{C2}}}} - \frac{{3{U_{L2d}}{I_{L2d}}}}{{2{C_2}{U_{C2}}}} + \frac{{{U_{C1}} - {U_{C2}}}}{{{C_2}{R_C}}} \end{aligned} \right. $$ (8)

      根据式(7)和式(8)中的数学模型,本文选定两端交流系统的母线电流的d-q轴分量和VSC1侧的直流电压做为状态变量x,即整流侧x1 = [IL1d, IL1q, UC1]T,逆变侧x2 = [IL2d, IL2q, UC2]T。令直流线路输出的直流电压和整流器侧的有功功率以及逆变侧的有功功率和无功功率作为输出变量y,即整流侧y1 = [UC1, P1, Q1]T,逆变侧y2 = [UC2, P2, Q2]T。最后使两端交流系统对换流器的输入电压的d-q轴分量作为输入变量u,即整流侧u1 = [U1d, U1q]T,逆变侧u2 = [U2d, U2q]T

      分段仿射(piece-wise affine, PWA)系统是一种能够将增广的状态空间划分为多面体分区,并能对每个分区的状态更新方程进行联结的建模构架。目前被广泛应用于解决非线性模型难以计算和控制的问题。

      对于连续时间的VSC-HVDC系统来说,其直流电压与直流电流具有明显的非线性关系,本文将原有的非线性模型划分为4段,线性化后的PWA系统模型为

      $$ \begin{split} & \dot x(t) = \left\{ {\begin{aligned} & {{A_4}x(t) + {B_4}u(t) + {f_4}}&{70 \leqslant {x_3}(t) < \max }\\ & {{A_3}x(t) + {B_3}u(t) + {f_3}}&{67.3 \leqslant {x_3}(t) < 70}\\ & {{A_2}x(t) + {B_2}u(t) + {f_2}}&{65.4 \leqslant {x_3}(t) < 67.3}\\ & {{A_1}x(t) + {B_1}u(t) + {f_1}}&{63.6 \leqslant {x_3}(t) < 65.4} \end{aligned}} \right.\\ & y = {C_r}x\left( t \right) + {D_r}\left( t \right) + {d_r} \end{split} $$ (9)

      式中:

      $$\begin{split} & {A_r} = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}{|_{(x,u)}}\;\;\;\;\;{B_r} = \frac{{\partial f}}{{\partial u}}{|_{(x,u)}}\\ & {C_r} = \frac{{\partial g}}{{\partial x}}{|_{(x,u)}}\;\;\;\;\;{D_r} = \frac{{\partial g}}{{\partial u}}{|_{(x,u)}}\\ & {f_r} = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}{|_{(x,u)}}\left( { - x} \right) + \frac{{\partial f}}{{\partial u}}{|_{(x,u)}}\left( { - u} \right) + x\\ & {d_r} = \frac{{\partial g}}{{\partial x}}{|_{(x,u)}}\left( { - x} \right) + \frac{{\partial g}}{{\partial u}}{|_{(x,u)}}\left( { - u} \right) + y \end{split} $$

      式中:x3代表着状态变量x中的第3个决策变量UC1,也就是直流电压;r=1,2,3,4分别对应着4段仿射模型。

      将式(9)离散化处理后的PWA系统如下所示:

      $$ \begin{split} & x\left( {k + 1} \right) = {f_{PWA}}\left( {x\left( k \right),u\left( k \right)} \right) = \\ & \quad {A_r}x\left( k \right) + {B_r}u\left( k \right) + {f_r}\\ & y\left( k \right) = {C_r}x\left( k \right) + {D_r}u\left( k \right) + {g_r}\\ & \quad {[x{\left( k \right)^{\rm{T}}}\;\;\;\;u{\left( k \right)^{\rm{T}}}]^{\rm{T}}} \in P \end{split} $$ (10)

      式中:P代表包含整个状态空间的多面体集;r = {1, 2,···,ρ},其中ρ代表PWA模型中动态系统的分段数量。

    • 为了弥补传统MPC在动态性能上的不足,扩展应用领域,优化控制性能,本文选用EMPC控制器来解决上述问题。本章从离线和在线两部分对该控制器计算过程进行了详细的阐述。

    • 定义MPC有限时间优化控制问题的价值函数如下[10]

      $$ \begin{split} {J_N}(x(0)) =\, & {\min\limits_{{u_0}, \cdots ,{u_{N - 1}}}}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {\left( {{{\left\| {{{P}}{x_k}} \right\|}_1} + } \right.} \\ & \left. {{{\left\| {{{Q}}{u_k}} \right\|}_1}} \right) + {\left\| {{{{Q}}_f}{x_N}} \right\|_1} \end{split} $$ (11)

      式中:xkuk分别代表系统在有限预测时域N下的状态变量和输入变量;P, Q则为本文设定的权重矩阵,分别对应于上述的状态和输入两种变量;而Qf是对终端域Tset的约束矩阵;${\left\| \cdot \right\|_1}$代表着矢量的1范数。由于系统是线性的,因而

      $$ x\left( k \right) = {A_i}x\left( 0 \right) + \sum\limits_{j = 0}^{i - 1} {{A_j}} Bu\left( {k - j - 1} \right) $$ (12)

      将式(12)代入式(11)中得到mp-QP问题的标准形式:

      $$ \begin{split} V\left( {x\left( k \right)} \right) =\, & \frac{1}{2}{x^{\rm{T}}}\left( k \right)Yx\left( k \right) + \mathop {\min }\limits_u \left[ {\frac{1}{2}{u^{\rm{T}}}Hu + {x^{\rm{T}}}\left( k \right)Fu} \right]\\ & {\rm{s.t.}}\;\;\;\;\;Gu \leqslant W + Sx \end{split} $$ (13)

      式中:H是Hessian矩阵,且H>0;GWS均为参数约束矩阵。求解mp-QP问题可得到相应的最优解u。由于H>0,则该解是唯一的,同时也能够唯一地确定一个有效约束集A0:G0u0W0+S0x0

    • CRAx的一个邻域,并且邻域内的所有x与其对应的最优解均满足该有效约束,则称CRA为临界分区。利用一阶karush-kuhn-tucker(KKT)[11]来求解上述mp-QP问题得到最优变量u

      $$ u = - {{{H}}^{ - 1}}{{{G}}^{\rm{T}}}\lambda $$ (14)

      以及互补的松弛条件:

      $$ \lambda ( - {{G}}{{{H}}^{ - 1}}{{{G}}^{\rm{T}}}\lambda - {{W}} - {{S}}x) = 0 $$ (15)

      u=u时,能得到有效约束集A并建立矩阵GAWASA。记λA为有效约束对应的拉格朗日乘子,λ的值满足$\left( { - {{{G}}_A}{{{H}}^{ - 1}}{{G}}_A^{\rm{T}}} \right){\lambda _A} - {{{W}}_A} - {{{S}}_A}x = 0$。因此,

      $$ {\lambda _A} = - {\left( {{{{G}}_A}{{{H}}^{ - 1}}{{G}}_A^{\rm{T}}} \right)^{ - 1}}\left( {{{{W}}_A} + {{{S}}_A}x} \right) $$ (16)

      由于矩阵GA的各行都是线性独立的,因此${\left( {{{{G}}_{{A_0}}}{{{H}}^{ - 1}}{{G}}_{{A_0}}^{\rm{T}}} \right)^{ - 1}}$存在。λx的一个仿射函数,将式(16)代入到式(14)中得:

      $$ u = {{{H}}^{ - 1}}{{G}}_A^{\rm{T}}{\left( {{{{G}}_A}{{{H}}^{ - 1}}{{G}}_A^{\rm{T}}} \right)^{ - 1}}\left( {{{{W}}_A} + {{{S}}_A}x} \right) $$ (17)

      J={1,···,m}为约束下标索引的集合。对任意$A \subseteq J$,令GASA分别为约束矩阵GS的子矩阵,GjSjWj分别表示矩阵GSW的第j行。同时通过式(16)~(17)可得到λA(x)和u(x)并定义如下的最优划分:

      $$ A\left( x \right) = \left\{ {j \in J|{{{G}}_j}u\left( x \right) - {{{S}}_j}x = {{{W}}_j}} \right\} $$ (18)

      式中:A(x)是最优有效集,也可以称为有效约束集。对给定的xF,定义临界分区为

      $$ C{R_A} = \left\{ {x \in F:A\left( x \right) = A} \right\} $$ (19)

      临界域CRA中的任意一个临界分区CR0代表着使有效约束Ai保持不变的x的最大集合,也就是说在临界分区CRi中始终保持公式(19)成立。

    • 当状态空间中的临界分区分割完毕,需要再对各个分区所对应的显式控制律进行求解。计算出显式PWA反馈控制律[12]

      $$ u = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{K_1}x + {L_1}}&{{\rm{ if }}\;\;\;\;x \in C{R_1}}\\ & \vdots \\ {{K_i}x + {L_i}}&{{\rm{ if }}\;\;\;\;x \in C{R_i}} \end{array}} \right. $$ (20)

      式中:KiLi分别表示开环最优控制序列中局部仿射函数的参数。

    • 在线计算部分本质上就是一个点定位问题,首先需要将参数变量x中的值逐个代入CRi中,如果A(x) = A不成立则证明变量值不属于该分区的范围之内,需再对剩余分区进行逐个判断。反之若等式成立,接下来需调用式(20)中对应该分区的最优反馈控制律来完成控制运算。这样的计算方法与传统的滚动时域更新计算相比,无需再实时地计算最优反馈控制律,也避免了每取一个x都需要重新更新控制律的繁琐过程,大大拓展了EMPC的应用领域。

    • lmaxlmin分别代表着u(x)中,在最大值边界和最小值边界处饱和的临界区域的索引集,饱和集lsat=lmaxlmin。由饱和集lsat构成的多面体分区Rsat则被称为饱和分区。对包含饱和分区最优控制律的u(x),令

      $$ \begin{split} & \bar u = \max \{ u(x)|x \in F\} \\ & \underline u = \min \{ u(x)|x \in F\} \end{split} $$ (21)

      如果Ki=0,${L_i} = \bar u$,则临界区域Ri在最大值边界处饱和。如果Ki=0,${L_i} = \underline u $,则临界区域Ri在最小值边界处饱和。除上述两者外剩下的区域则被称为非饱和区域。令$U = {\left\{ {{R_i}} \right\}_{i \in l_{unsat}}}$$\bar R = {\left\{ {{R_i}} \right\}_{i \in {l_{\max }}}}$$\bar R = {\left\{ {{R_i}} \right\}_{i \in {l_{\min }}}}$,则可将公式(21)中对应每个临界分区的u(x)都重新书写为如下形式:

      $$ u(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{K_i}x + {L_i}}&{{\rm{ if}}\;x \in U,i \in {l_{{\rm{unsat }}}}}\\ {\bar u}&{{\rm{ if}}\;x \in \bar R}\\ {\underline u }&{{\rm{ if}}\;x \in \underline R } \end{array}} \right. $$ (22)

      为了简化式(22)的计算复杂度,建立了一个分离函数ξ,通过将不饱和分区分离的方式来降低运算过程的计算量。

      基于Pólya[13]的基础理论通过预先设定的最小Pólya角度δ和系数矩阵αi来求解多项式形式的分离函数ξ(x),定义分离函数为

      $$ \xi \left( x \right): = \sum\limits_{{i_1} = \cdots = {i_n} = 0}^{{i_1} + \cdots + {i_n} \leqslant \delta } {{\alpha _{i1, \cdots ,{i_n}}}{x_{{i_1}}} \cdots {x_{{i_n}}}} $$ (23)

      令变量x满足

      $$ \begin{split} & \xi \left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \in \bar R\\ & \xi \left( x \right) < 0,{\rm{ }}\forall x \in \underline R \end{split} $$ (24)

      定义与式(23)等价的替换函数为

      $$ \tilde u(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{K_i}x + {L_i}}&{{\rm{ if}}\;x \in U,i \in {l_{{\rm{unsat }}}}}\\ {\bar u}&{{\rm{ if}}\;x \notin U,\xi (x) > 0}\\ {\underline u }&{{\rm{ if}}\;x \notin U,\xi (x) < 0} \end{array}} \right. $$ (25)

      式(24)~(25)通过每个x所对应的分离函数ξ(x)的符号,即可判断其所对应分区是否饱和。

    • 根据式(23)和(25)所示便可严格分离不饱和分区,此方法是基于Pólya理论的基本结果来求解的。

      δ<1时,对于给定的Pólya角度δ不存在公式(23)所示的分离函数ξ(x),此时该饱和分区无法分离。而当δ≥1时,则可能存在两种情况。一种是理想情况下,仅考虑分离顶点集VlminVlmax也可从式(23)中得到如图2(a)所示能完全分离RlmaxRlminξ(x)。然而在更普遍的情况下,严格分离顶点不足以使ξ(x)将所有点与相关集合分开,因为可能存在如图2(b)${\tilde x_1}$${\tilde x_2}$这样的误判点。

      图  2  分离函数与误判点示意图

      Figure 2.  Separation Function and Offending Point Diagram

      所以此时需要对多项式ξ(x)进行重新判断。考虑分区Ri的第k个面,并定义该多项式的解${\tilde x_{i,k}}$

      $$ {\tilde x_{i,k}} = \left\{ {x|\xi \left( x \right) - {{{K}}_{i,k}}x + {{{L}}_{i,k}} = 0,{\rm{ }}x \in {R_i}} \right\} $$ (26)

      其中Ki,kLi,k分别为矩阵KiLi的第k行,如果${\tilde x_{i,k}} = \phi $$\forall i \in {l_{{\rm{max}}}} \cup {l_{{\rm{min}}}}$。则满足式(26)的多项式ξ(x)依旧能如图2(a)所示严格分离RlmaxRlmin。但当${\tilde x_{i,k}} \ne \phi $时,则会存在图2(b)中所反应的情况,即有一些点${\tilde x_{i,k}}$会横穿第i个分区的第k个面。此时ξ(x)不能严格分离RlmaxRlmin

      当存在误判点${\tilde x_{i,k}}$时,可以将此点加入到顶点集中。即对于一些ilmax,如果${\tilde x_{i,k}} \ne \phi $,则${V_{{l_{{\rm{max}}}}}} = {V_{{l_{{\rm{max}}}}}} \cup {\tilde x_{i,k}}$。同理ilmin时,如果${\tilde x_{i,k}} \ne \phi $${V_{{l_{{\rm{min}}}}}} = {V_{{l_{{\rm{min}}}}}} \cup {\tilde x_{i,k}}$。如图2(c)所示,用更新后的顶点列表来重新求解式(23)的线性规划,可以得到一个新的分离函数用于严格分离RlmaxRlmin。如果发现更多误判点,则将它们都添加到顶点列表中,并重复该过程。EMPC在线和离线的控制过程如图3所示。

      图  3  EMPC算法流程图

      Figure 3.  Flow chart of EMPC algorithm

    • 为了验证本文所提方法的有效性,在MATLAB中搭建如图1所示的数学仿真模型,选用整流侧定直流电压与定无功功率控制,逆变侧定有功功率与定无功功率控制的控制策略。主要的仿真参数为:wL1=wL2=3.14 Ω,R1=R2=0.1 Ω,Rdc=0.3 Ω,L1=L2=10 mH,C1=C2=450 μF。令相应的加权矩阵为P=diag(1,1,10),R=diag(1,1)。

      根据给出的系统参数,应用EMPC对文中VSC-HVDC模型进行控制,得到图4所示的状态分区图。图中共有30个不同的子控制律,分布在59个状态分区上,其中相同颜色的分区代表它们共用了同一个子控制律。

      图  4  EMPC状态分区示意图

      Figure 4.  EMPC status partition diagram

      分离函数法对离线复杂度的降低效率,主要通过不饱和区占临界分区总数的比例来体现。应用分离函数法从图4中移除这些饱和分区后,剩余的非饱和分区如图5所示,分区数量由59分区减少到42分区仅为原有分区的71.2%,离线计算部分的复杂度明显降低。

      图  5  嵌入分离函数的状态分区图

      Figure 5.  State Partition Diagram Embedded with Separation Function

    • 整流侧采用直流电压控制,直流侧电压响应曲线如图6(a)所示,并且由于分离了饱和分区,降低了离线计算的复杂度,所以在线的查表搜索速度也相应加快了。图6(b)为无功功率的响应曲线,图6(c)为整流侧三相交流电压曲线图,趋势均完全符合本节所提的整流侧控制策略。

      图  6  VSC1侧控制性能测试图

      Figure 6.  Schematic diagram of VSC1 side control performance test

      为了验证系统元件参数变化时控制器的控制性能,在直流电容参数增大和减小50%与整流侧电感误差增大和减小50%等4种情况下进行仿真研究,结果如图7所示。图7(a)中可见在电容增大50%时经过约0.05 s的调整,曲线波形质量较好,与额定曲线接近。电容减小50%时的曲线也在几乎同一时刻达到了新的稳态值。而图7(b)中的电感波形在电感突增后经0.15 s的暂态过程,3条曲线也均展现了良好的稳态性能。

      图  7  参数鲁棒性测试示意图

      Figure 7.  Schematic diagram of parameter robustness test

    • 逆变侧采用定有功功率与定无功功率的控制策略,为了测试控制器的动态性能,进行负载突增实验。令有功功率负载为65 MW,0.3 s时再投入25 MW的线性阻感负载。因为负载的突增所以图8(a)所示的三相交流电流产生了阶跃性的变化,但迅速达到了新的平衡状态。从图8(b)所示的三相交流电压曲线图可看出,这种负载的突增并没有对三相交流电压产生明显影响,EMPC的控制效果依然良好。图8(c)中的有功功率和无功功率在0.3 s时经过0.04 s的功率突增后很快便达到了稳态。图8(d)的直流电压在经过了0.02 s的调整以后也达到了期望值。

      图  8  负载突增性能测试图

      Figure 8.  Schematic diagram of load surge performance test

    • 分离函数与Pólya角度对控制器在离线计算的复杂度影响如表1所示。

      表 1  不同δ时状态分区仿真时间参数

      Table 1.  Critical region and simulation time parameters at different δ

      δ Empc分区 ξ(x)分区 离线计算时间/s
      EMPC ξ(x)
      <1 59 59 1.3 1.3
      1 59 42 1.3 0.93
      3 59 42 1.3 1.21
      5 59 42 1.3 1.27

      表1所示的4组数据可知,当δ<1时如3.2节所述,找不到合适的ξ(x)来分离不饱和分区,所以仿真时间并无变化,依旧是等于不加入分离函数之前的1.3 s。而在δ的值为1,3,5时,分区数减少到42个,可见分离函数已将饱和分区全部分离。但随着δ值的增大,离线计算时间也越来越长,由此判定,在此计算过程中出现了误判点,是对误判点的甄别和计算增加了仿真时间。比对表中几组数据后可发现,δ值越小,仿真计算时间越短。这也间接表明,δ值越小,此时各分区的ξ(x)越容易完全分离所对应的饱和分区,直到δ=1时达到最佳控制效果。

    • 1) EMPC在线运算过程简单的优势,能保证其对VSC-HVDC系统的实时控制性能。

      2) 应用分离函数,只需判断各状态变量所对应的分离函数的符号,便可相应判断出状态变量所属分区是否为饱和分区,即简化了离线计算过程。同时由于分区数量的减少,也相应提升了在线查表的速度。

      3) 与传统点定位方法相比,降低离线计算的分区数量,更能从根本上整体提升控制器的控制性能和适用范围。

参考文献 (13)

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