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含有恒功率负荷的直流微网鲁棒非脆弱模糊控制

张虹 袁琳 李博文 李伟东

张虹, 袁琳, 李博文, 李伟东. 含有恒功率负荷的直流微网鲁棒非脆弱模糊控制[J]. 现代电力, 2021, 38(2): 156-163. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2020.0245
引用本文: 张虹, 袁琳, 李博文, 李伟东. 含有恒功率负荷的直流微网鲁棒非脆弱模糊控制[J]. 现代电力, 2021, 38(2): 156-163. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2020.0245
Hong ZHANG, Lin YUAN, Bowen LI, Weidong LI. Robust Non-fragile Fuzzy Control of DC Microgrid Containing Constant Power Load[J]. Modern Electric Power, 2021, 38(2): 156-163. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2020.0245
Citation: Hong ZHANG, Lin YUAN, Bowen LI, Weidong LI. Robust Non-fragile Fuzzy Control of DC Microgrid Containing Constant Power Load[J]. Modern Electric Power, 2021, 38(2): 156-163. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2020.0245

含有恒功率负荷的直流微网鲁棒非脆弱模糊控制

doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2020.0245
基金项目: 国家自然科学基金项目(51777027);吉林省科技计划重点研发项目(20180201010GX)
详细信息
    作者简介:

    张虹(1973),女,博士,副教授,本文通信作者,研究方向为电力系统稳定与控制,E-mail:jdlzh2000@126.com

    袁琳(1993),女,硕士研究生,研究方向为电力系统分析与稳定控制,E-mail:1909270126@qq.com

  • 中图分类号: TM 73

Robust Non-fragile Fuzzy Control of DC Microgrid Containing Constant Power Load

Funds: National Nature Science Foudation of China(51777027); National Key R&D Program of Technology Plan of Jilin Province(2018020101GX)
  • 摘要: 当具有恒功率特性的负荷与源侧换流器级联时,会降低直流微网系统的阻尼,带来稳定性问题。针对上述问题,采用TS模糊模型,对含恒功率负荷的非线性直流微网系统进行建模。为有效抵抗直流微网和控制系统参数的不确定性,设计了一种鲁棒非脆弱控制器,在计算参数不确定矩阵的基础上,推导以线性矩阵不等式表示的Lyapunov指数稳定条件。经Matlab/Simulink仿真测试,所设计控制器满足直流微网对于稳定性的要求,能够提高闭环系统的暂态性能,对系统及控制器内部的不确定性拥有较强的鲁棒性。
  • 图  1  典型的直流微网拓扑结构

    Figure  1.  Topological structure of typical DC microgrid

    图  2  带有Q个CPLs的直流微网简化模型

    Figure  2.  Simplified model of DC microgrid with Q CPLs

    图  3  控制器设计流程图

    Figure  3.  Overall flowchart of controller design

    图  4  带不同负荷系统直流母线电压波形

    Figure  4.  Voltage waveform of DC bus connected with different loads

    图  5  算例1中直流微网状态及控制输入波形

    Figure  5.  Status of DC microgrid and the input waveform of the controller in example 1

    图  6  算例2中直流微网状态及控制输入波形

    Figure  6.  Status of DC microgrid and the input waveform of the controller in example 2

    表  1  参数变化百分比

    Table  1.   Percentage of parameter changes

    ${r_1}$${r_{\rm{s}}}$${L_1}$${L_{\rm{s}}}$${C_1}$${C_{\rm{s}}}$
    +10%−5%+5%+10%−8%+5%
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-06-23
  • 网络出版日期:  2021-04-09
  • 刊出日期:  2021-04-10

含有恒功率负荷的直流微网鲁棒非脆弱模糊控制

doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2020.0245
    基金项目:  国家自然科学基金项目(51777027);吉林省科技计划重点研发项目(20180201010GX)
    作者简介:

    张虹(1973),女,博士,副教授,本文通信作者,研究方向为电力系统稳定与控制,E-mail:jdlzh2000@126.com

    袁琳(1993),女,硕士研究生,研究方向为电力系统分析与稳定控制,E-mail:1909270126@qq.com

  • 中图分类号: TM 73

摘要: 当具有恒功率特性的负荷与源侧换流器级联时,会降低直流微网系统的阻尼,带来稳定性问题。针对上述问题,采用TS模糊模型,对含恒功率负荷的非线性直流微网系统进行建模。为有效抵抗直流微网和控制系统参数的不确定性,设计了一种鲁棒非脆弱控制器,在计算参数不确定矩阵的基础上,推导以线性矩阵不等式表示的Lyapunov指数稳定条件。经Matlab/Simulink仿真测试,所设计控制器满足直流微网对于稳定性的要求,能够提高闭环系统的暂态性能,对系统及控制器内部的不确定性拥有较强的鲁棒性。

English Abstract

张虹, 袁琳, 李博文, 李伟东. 含有恒功率负荷的直流微网鲁棒非脆弱模糊控制[J]. 现代电力, 2021, 38(2): 156-163. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2020.0245
引用本文: 张虹, 袁琳, 李博文, 李伟东. 含有恒功率负荷的直流微网鲁棒非脆弱模糊控制[J]. 现代电力, 2021, 38(2): 156-163. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2020.0245
Hong ZHANG, Lin YUAN, Bowen LI, Weidong LI. Robust Non-fragile Fuzzy Control of DC Microgrid Containing Constant Power Load[J]. Modern Electric Power, 2021, 38(2): 156-163. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2020.0245
Citation: Hong ZHANG, Lin YUAN, Bowen LI, Weidong LI. Robust Non-fragile Fuzzy Control of DC Microgrid Containing Constant Power Load[J]. Modern Electric Power, 2021, 38(2): 156-163. doi: 10.19725/j.cnki.1007-2322.2020.0245
    • 随着电力系统中可再生能源渗透率不断升高,为提高其消纳能力,实现分布式电源和多元负荷的集中管理,直流微网近年来得到了广泛的关注与研究[1]。与交流微网相比,直流微网不存在频率稳定、无功功率问题,而且能够省去大量交直流换流环节,从而提高效率、减少成本[2]。直流微网中的负荷都通过换流器与直流母线相连,当负荷点换流器工作于恒压模式且控制性能良好时,负荷点换流器及其负荷相对于直流微网可以看作是恒功率负荷(constant power load,CPL)[3]。在含船舶供电[4]、电动汽车、航天器[5]和感应电机驱动的场景中,对含恒功率负荷直流微网的控制与稳定性研究是必不可少的[6]

      CPL的负阻抗特性是直流微网不稳定的主要来源之一。含CPL的直流微网具有非线性特性,因此一般采用非线性控制方法来研究系统稳定性并降低CPL的不良影响。文献[7]设计了一种状态反馈控制器来保证闭环系统的稳定性,根据所获得的控制规则来生成注入功率的参考值。文献[8]提出一种基于前馈补偿和反步设计算法相结合的非线性扰动观测器,但是当系统出现干扰时,该方法不能完全消除恒功率负荷的非线性项。文献[9]提出用有源阻尼来稳定带恒功率负荷的DC/DC变换器,并将补偿变换器反馈的设计转化为一个传统的问题,可以有效抑制恒功率负荷引起的不稳定,但只研究了单源单负荷的级联系统。近年来,线性矩阵不等式(linear matrix inequalities,LMI)技术的简单性和有效性被逐渐挖掘出来,因此许多类型的研究利用该技术对含CPLs的直流微网进行稳定性分析和控制器设计。文献[10]简单地建立TS(Takagi-Sugeno)模糊模型来进行稳定性分析。而在文献[11]中,对TS模糊系统的控制器设计被局限在鲁棒线性控制器上,使其在非线性直流微网中的适用性和性能降低,CPLs的影响仍需减轻。现有关于含CPLs的直流微网的文献中,通常假设控制器在投入系统时无误差,且系统参数保持不变。然而,在实际应用中,含多CPL直流微网的参数不确定性、储能系统模型(energy storage system,ESS)的不准确、以及由于计算延迟、量化效应和计算近似等原因都能引起控制器产生误差,影响控制效果的精确稳定。因此,所设计的控制器必须对系统和控制器自身的不确定性都具有鲁棒性。

      本文首先对含恒功率负荷的直流微网非线性系统进行建模,然后基于TS模糊模型,采用扇区非线性方法将模型中的非线性项近似成以隶属度函数为基础的多个线性项之和。针对系统参数确定及不确定两种情景,推导参数不确定矩阵,分别形成了以LMI表示的Lyapunov指数稳定条件,并以此设计鲁棒非脆弱控制器。最后搭建仿真模型验证该控制器对于含CPL直流微网的控制性能。

    • 典型的直流微网拓扑结构如图1所示,包含大量的换流装置,这些电力电子器件在工作状态时,可以忽略许多负荷功率输出中的瞬态特性,因此可以建模为CPLs。

      图  1  典型的直流微网拓扑结构

      Figure 1.  Topological structure of typical DC microgrid

      典型的直流微网中阻性负荷通常占比约为20%~25%,CPL占比大约为75%~80%,当负荷侧换流器与负荷共同工作于恒功率状态时,与源测换流器级联就会引起不稳定问题。同时,相对于阻性负荷,CPL是非线性的,呈现负阻抗特性,也会导致直流微网不稳定[12]

    • 图1所示的典型直流微网系统中包含一个直流源、一个储能系统以及多个恒功率负荷,其中通过严格调节直流或交流负荷实现换流器输入端功率为恒定值,并假设直流源电压恒定且不可控。基于连接到直流源的单个CPL和储能系统,可以得到含有多个CPL,一个ESS和一个通过RLC滤波器连接的直流电源的整个直流微网简化模型,如图2所示。从图2中可以明显看出,可以将整体的直流微网解耦为Q+1个子系统(即Q个CPL子系统和一个直流电源子系统),且CPL子系统中等效电流源呈现非线性特性。

      图  2  带有Q个CPLs的直流微网简化模型

      Figure 2.  Simplified model of DC microgrid with Q CPLs

      根据基尔霍夫定律,得到直流微网的微分方程如式(1)所示:

      $$\left\{ \begin{array}{l} {{\dot i}_{Lj}} = - \dfrac{{{r_j}}}{{{L_j}}}{i_{Lj}} - \dfrac{1}{{{L_j}}}{u_{Cj}} + \dfrac{1}{{{L_j}}}{u_{C{\rm{s}}}} \\ {{\dot u}_{Cj}} = \dfrac{1}{{{C_j}}}{i_{Lj}} - \dfrac{1}{{{C_j}}}\dfrac{{{P_j}}}{{{u_{Cj}}}} \\ {{\dot i}_{L{\rm{s}}}}{\rm{ = }} - \dfrac{{{r_{\rm{s}}}}}{{{L_{\rm{s}}}}}{i_{L{\rm{s}}}} - \dfrac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{u_{C{\rm{s}}}} + \dfrac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{U_{{\rm{dc}}}} \\ {{\dot u}_{C{\rm{s}}}} = \dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}{i_{L{\rm{s}}}} - \dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}\displaystyle\sum\limits_{j{\rm{ = }}1}^Q {{i_{Lj}} - \dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}{i_{{\rm{es}}}}} \\ \end{array} \right.$$ (1)

      式中:${r_j}$${L_j}$${C_j}$${r_{\rm{s}}}$${L_{\rm{s}}}$${C_{\rm{s}}}$分别表示第j个CPL子系统及直流电源子系统中的电阻、电感和电容;${i_{Lj}}$${u_{Cj}}$表示第j个CPL子系统的电感电流和电容电压;${i_{L{\rm{s}}}}$${u_{C{\rm{s}}}}$分别表示直流电源子系统的电感电流和电容电压;${U_{{\rm{dc}}}}$表示直流电源的电压;${i_{{\rm{es}}}}$表示控制器注入系统的电流;${P_j}$表示第j个CPL子系统的功率。

      为了便于进行稳定性分析,使用适当的坐标变化如下:

      $$\left\{ \begin{array}{l} {{\tilde i}_{Lj}} = {i_{Lj}} - {i_{L{\rm{0}}j}} \\ {{\tilde u}_{Cj}} = {u_{Cj}} - {u_{C{\rm{0}}j}} \\ {{\tilde i}_{L{\rm{s}}}} = {i_{L{\rm{s}}}} - {i_{L{\rm{0s}}}} \\ {{\tilde u}_{C{\rm{s}}}} = {u_{C{\rm{s}}}} - {u_{C{\rm{0s}}}} \\ \end{array} \right.$$ (2)

      式中:${i_{L0j}}$${u_{C0j}}$${i_{L0{\rm{s}}}}$${u_{C0{\rm{s}}}}$表示该系统的平衡点;其中由于直流电源恒定不变,坐标变换后${\tilde u_{C{\rm{s}}}}$的值为零。

      因此式(1)可以改写成:

      $$\left\{ \begin{array}{l} {{\dot{ \tilde i}}_{Lj}} = - \dfrac{{{r_j}}}{{{L_j}}}{{\tilde i}_{Lj}} - \dfrac{1}{{{L_j}}}{{\tilde u}_{Cj}} + \dfrac{1}{{{L_j}}}{{\tilde u}_{C{\rm{s}}}} \\ {{\dot{ \tilde u}}_{Cj}} = \dfrac{1}{{{C_j}}}{{\tilde i}_{Lj}} + \dfrac{{{P_j}}}{{{C_j}{u_{C0j}}}}\dfrac{{{{\tilde u}_{Cj}}}}{{{{\tilde u}_{Cj}} + {v_{C0j}}}} \\ {{\dot{ \tilde i}}_{L{\rm{s}}}} = - \dfrac{{{r_{\rm{s}}}}}{{{L_{\rm{s}}}}}{{\tilde i}_{L{\rm{s}}}} - \dfrac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{{\tilde u}_{C{\rm{s}}}} \\ {{\dot{ \tilde u}}_{C{\rm{s}}}} = \dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}{{\tilde i}_{L{\rm{s}}}} - \dfrac{1}{C}\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^Q {{{\tilde i}_{Lj}}} - \dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}{{\tilde i}_{{\rm{es}}}} \\ \end{array} \right.$$ (3)

      将第j个CPL子系统的状态方程写成:

      $${{\dot{ \tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}_j}{\rm{ = }}{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_j}{{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_j}{\rm{ + }}{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{ d}}}}}_j}{h_j}{\rm{ + }}{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{j{\rm{s}}}}{{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\rm{s}}}$$ (4)

      式中:j={1,2,···,Q};${{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\rm{s}}}{\rm{ = }}{\left[ {{{\tilde i}_{L{\rm{s}}}}{\rm{ }}{{\tilde u}_{C{\rm{s}}}}} \right]^{\rm{T}}}$${{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_j}{\rm{ = }}{\left[ {{{\tilde i}_{Lj}}{\rm{ }}{{\tilde u}_{Cj}}} \right]^{\rm{T}}}$分别是直流电源和CPL子系统的状态向量;非线性项${{\rm{h}}_{\rm{j}}} = {\tilde u_{Cj}}/[{u_{C0j}}({\tilde u_{Cj}} + {u_{C0j}})]$;系数矩阵分别为:

      $${{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_j} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{{{r_j}}}{{{L_j}}}}&{ - \dfrac{1}{{{L_j}}}} \\ {\dfrac{1}{{{C_j}}}}&0 \end{array}} \right]{\rm{; }}{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{ d}}}}}_j}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\dfrac{{{P_j}}}{{{C_j}}}} \end{array}} \right]{\rm{; }}{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{j{\rm{s}}}}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\dfrac{1}{{{L_j}}}} \\ 0&0 \end{array}} \right]\text{。}$$

      将直流电源子系统的状态方程写成:

      $${{\dot {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}_{\bf{s}}}{\rm{ = }}{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{\rm{s}}}{{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\rm{s}}}{\rm{ + }}{{{\mathit{\boldsymbol{b}}}}_{\rm{{es}}}}{{{\tilde i}}_{\rm{{es}}}}{\rm{ + }}\displaystyle\sum\limits_{{j = }1}^Q {{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{\rm{{cn}}}}{{{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}_{{\mathit{\boldsymbol{j}}}}}} $$ (5)

      式中的系数矩阵如下:${{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{\rm{s}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{{{r_{\rm{s}}}}}{{{L_{\rm{s}}}}}}&{ - \dfrac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}} \\ {\dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}}&0 \end{array}} \right]$;${{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_{\rm{cn}}} = $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ { - \dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}} &0 \end{array}} \right]$; ${\rm{ }}{{{\mathit{\boldsymbol{b}}}}_{{\rm{es}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ { - \dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}} \end{array}} \right]$

      则直流微网系统整体动态模型可以写为

      $${\dot {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{ X}}}}}}{\rm{ = }}{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}{\rm{ + }}{\bar{{\mathit{\boldsymbol{D}}}}}{{\mathit{\boldsymbol{h}}}}({\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}){\rm{ + }}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{\tilde i_{{\rm{es}}}}$$ (6)

      式中:状态相量${\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}{\rm{ = }}{\left[ {{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_1^{\rm{T}}{\rm{ }}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_2^{\rm{T}} \cdots {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_Q^{\rm{T}}{\rm{ }}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\rm{s}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}}$;非线性项为${{\mathit{\boldsymbol{h}}}} = {\left[ {{h_1} \cdots {h_Q}} \right]^{\rm{T}}}$${\tilde i_{{\rm{es}}}}$为控制输入量。

      系数矩阵分别为:

      $$ {{\mathit{\boldsymbol{A}}}}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_1}}&0& \cdots &0&{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_{1{\rm{s}}}}} \\ 0&{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_2}}& \cdots &0&{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_{2{\rm{s}}}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0&0& \cdots &{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_Q}}&{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_{Q{\rm{s}}}}} \\ {{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_{{\rm{cn}}}}}&{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_{{\rm{cn}}}}}& \cdots &{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_{{\rm{cn}}}}}&{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_{\rm{s}}}} \end{array}} \right];$$
      $$ {\bar{{\mathit{\boldsymbol{D}}}}}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{ d}}}}}}_1}}&0& \cdots &0 \\ 0&{{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{ d}}}}}}_2}}& \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0& \cdots &{{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{ d}}}}}}_Q}} \\ 0&0& \cdots &0 \\ 0&0& \cdots &0 \end{array}} \right];\quad\quad\quad $$
      $$ {{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0& \cdots &0&{{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{b}}}}}_{{\rm{es}}}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}{\text{。}}\quad\quad $$
    • TS模糊建模将原非线性系统分解为有限个的局部线性系统,通过各个局部线性系统的状态空间方程表征整个非线性系统。由图2可知,含多个CPL的直流微网系统可以等效成单个CPL系统进行研究[13]。因此对其进行TS模糊建模,只需考虑非线性项${{{h}}_1} = {\tilde u_{C1}}/[{u_{C01}}({\tilde u_{C1}} + {u_{C01}})]$

      本文采用扇区非线性方法[14],在定义的状态变量局部区间内建立隶属度函数、系数矩阵,进而生成IF THEN规则以形成TS模糊模型。对于单个CPL子系统,定义局部区间为$- {\tilde w_1} \leqslant {\tilde u_{C1}} \leqslant {\tilde w_1}$。其中${\tilde w_1}$为正标量,确保在区间内CPL功率达到最大值仍能维持局部稳定。

      对于给定的区间,定义非线性项${h_1}$的扇区上下限为${U_{\min }}{\tilde u_{C1}}$${U_{\max }}{\tilde u_{C1}}$,即${U_{\min }}{\tilde u_{C1}} \leqslant {{\rm{h}}_1} \leqslant {U_{\max }}{\tilde u_{C1}}$,可得:

      $$ {U_{\min }}{{ = }}\dfrac{1}{{{{{u}}_{C01}}({{{{\tilde w}}}_1}{{ + }}{{{u}}_{C01}})}},\;\;{U_{\max }}{{ = }}\dfrac{1}{{{{{u}}_{C01}}( - {{{{\tilde w}}}_1}{{ + }}{{{u}}_{C01}})}} $$ (7)

      基于扇区非线性方法,非线性项${h_1}$可分解为

      $${h_1} = {M_1}{U_{\min }}{\tilde u_{C1}} + {M_2}{U_{\max }}{\tilde u_{C1}}$$ (8)

      式中:${M_1}$${M_2}$为隶属度函数,且满足:

      $${M_1} + {M_2} = 1$$ (9)

      求解式(8)、式(9)可得:

      $$\left\{ \begin{array}{l} {M_1} = \dfrac{{{U_{\max }}{{\tilde u}_{C1}} - {h_1}}}{{\left( {{U_{\max }} - {U_{\min }}} \right){{\tilde u}_{C1}}}} \\ {M_2} = \dfrac{{{h_1} - {U_{\min }}{{\tilde u}_{C1}}}}{{\left( {{U_{\max }} - {U_{\min }}} \right){{\tilde u}_{C1}}}} \\ \end{array} \right.$$ (10)

      因此,含单个CPL的直流微网模糊IF-THEN规则如下文所述。

      $$\begin{array}{l} {\text{规则}}{\rm{1}}:{\rm{IF }}\dfrac{{{h_1}}}{{{{\tilde v}_{C1}}}} = {U_{\min }}\;{\rm{ THEN }}\;{\dot {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}} = {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_1}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}} + {{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{\tilde i}_{{\rm{es}}}}\\ {\text{规则}}{\rm{2}}:{\rm{IF }}\dfrac{{{h_1}}}{{{{\tilde v}_{C1}}}} = {U_{\max }}\;{\rm{ THEN }}\;{\dot {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}} = {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_2}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}} + {{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{\tilde i}_{{\rm{es}}}} \end{array}$$ (11)

      因此得到等价TS模糊模型为

      $${\dot {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{ X}}}}}}{\rm{ = }}\sum\limits_{i{\rm{ = }}1}^2 {{M_i}( {{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}{\rm{ + }}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{\tilde i}_{{\rm{es}}}}} )} $$ (12)

      式中:

      $$\begin{array}{l} {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_1}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{{{r_1}}}{{{L_1}}}}&{ - \dfrac{1}{{{L_1}}}}&0&{\dfrac{1}{{{L_1}}}} \\ {\dfrac{1}{{{C_1}}}}&{\dfrac{{{P_1}}}{{{C_1}}}{U_{\min }}}&0&0 \\ 0&0&{ - \dfrac{{{r_{\rm{s}}}}}{{{L_{\rm{s}}}}}}&{ - \dfrac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}} \\ { - \dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}}&0&{\dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}}&0 \end{array}} \right];\;{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ { - \dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}} \end{array}} \right]\text{;}\\ \;\;\;\;\;\;{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_2}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{{{r_1}}}{{{L_1}}}}&{ - \dfrac{1}{{{L_1}}}}&0&{\dfrac{1}{{{L_1}}}} \\ {\dfrac{1}{{{C_1}}}}&{\dfrac{{{P_1}}}{{{C_1}}}{U_{\max }}}&0&0 \\ 0&0&{ - \dfrac{{{r_{\rm{s}}}}}{{{L_{\rm{s}}}}}}&{ - \dfrac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}} \\ { - \dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}}&0&{\dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}}}}}&0 \end{array}} \right]\text{。} \end{array} $$

      从式(12)中可以看出,TS模糊模型包括非线性隶属函数${M_i}$和线性状态空间表达式${{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}{\rm{ + }}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{\tilde i_{{\rm{es}}}}$,其中i=1, 2。因此,通过TS模糊模型可以设计多个线性控制器共同维持非线性系统的稳定运行。在接下来的小节中针对直流微网系统参数确定和不确定2种情况,通过LMI计算增益来设计模糊控制器。

    • 在这种情况下,假设直流微网的参数完全已知且系统中不包含不确定因素,针对式(12)设计模糊控制率为

      $${\tilde i_{{\rm{es}}}}{\rm{ = }}\sum\limits_{i{\rm{ = }}1}^2 {{M_i}{{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_i}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}} $$ (13)

      式中:${{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_i}$表示从属于${M_i}$的线性控制器增益矩阵,保证直流微网的状态变量部分收敛到额定值。

      定义:如果Lyapunov函数V满足如下不等式:

      $$\dot V{\rm{ + }}2\sigma V < 0$$ (14)

      则Lyapunov函数指数收敛到零,系统呈指数稳定。式中σ为衰减速率。

      假设Lyapunov函数为二次型函数$V = {{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}^{\rm{T}}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}$P为正定矩阵,则:

      $$\dot V{\rm{ + }}2\sigma V = {{\dot {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{ X}}}}}}^{\rm{T}}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}} + {{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}^{\rm{T}}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{\dot {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}} + 2\sigma {{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}^{\rm{T}}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}$$ (15)

      将式(12)、式(13)代入式(15)得到:

      $$\begin{array}{c} \dot V + 2\sigma V = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^2 {{M_i}} \{ {{{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}}^{\rm{T}}}({{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_i^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}} + \\ {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i} + {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_i} + 2\sigma {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}){\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}\} \\ \end{array} $$ (16)

      由于${M_i} \geqslant 0$,若满足不等式(14),则:

      $${{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_i^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i} + {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_i} + 2\sigma {{\mathit{\boldsymbol{P}}}} < 0$$ (17)

      对不等式(17)分别左乘右乘矩阵${{\mathit{\boldsymbol{X}}}} = {{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}^{ - 1}}$,令${{{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_i} = {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_i}{{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}^{ - 1}}$,则可以得到如下以LMI表示的系统Lyapunov指数稳定条件,定义为定理1。

      定理1:若TS模糊系统(式(12))在控制器(式(13))作用下指数稳定,给定衰减率$\sigma > 0$,则存在正定矩阵X和矩阵${{{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_1}$${{{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_2}$,使下列以LMI表示的Lyapunov指数稳定条件成立,且增益矩阵${{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_i} = {{{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_i}{{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}^{ - 1}}$

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathit{\boldsymbol{X}}}} > 0} \\ {{{\mathit{\boldsymbol{XA}}}}_1^{\rm{T}} + {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_1}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}} + {{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_1} + {{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_1^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}} + 2\sigma {{\mathit{\boldsymbol{X}}}} < 0} \\ {{{\mathit{\boldsymbol{XA}}}}_2^{\rm{T}} + {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_2}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}} + {{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_2} + {{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_2^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}} + 2\sigma {{\mathit{\boldsymbol{X}}}} < 0} \end{array}} \right.$$ (18)
    • 在含有恒功率负荷的实际直流微网中,系统的参数是随时间变化的,即包含不确定因素。本文针对各子系统滤波电路参数、储能控制系统参数2种不确定性进行控制器设计。

      描述具有不确定性项的系统的一种方法是考虑添加有界项到TS模糊系统中[15],对于所考虑的直流微网有:

      $${\dot {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{ X}}}}}}{\rm{ = }}\sum\limits_{i{\rm{ = 1}}}^{\rm{2}} {{M_{\rm{i}}}} \left[ ({{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i}{\rm{ + }}\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i}){\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}{\rm{ + (}}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{\rm{ + }}\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{\rm{)}}{\tilde i_{{\rm{es}}}}\right] $$ (19)

      式中$\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i}$$\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}$表示系统的参数不确定矩阵。

      考虑参数变化后的矩阵${{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_1} = {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_1} + \Delta {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_1}$满足:

      $${{{\bar{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}_1}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{ - ({r_1} + \Delta {r_1})}}{{{L_1} + \Delta {L_1}}}}&{\dfrac{{ - 1}}{{{L_1} + \Delta {L_1}}}}&0&{\dfrac{1}{{{L_1} + \Delta {L_1}}}} \\ {\dfrac{1}{{{C_1} + \Delta {C_1}}}}&{\dfrac{{{P_1}{U_{\min }}}}{{{C_1} + \Delta {C_1}}}}&0&0 \\ 0&0&{\dfrac{{ - ({r_{\rm{s}}} + \Delta {r_{\rm{s}}})}}{{{L_{\rm{s}}} + \Delta {L_{\rm{s}}}}}}&{\dfrac{{ - 1}}{{{L_{\rm{s}}} + \Delta {L_{\rm{s}}}}}} \\ {\dfrac{{ - 1}}{{{C_{\rm{s}}} + \Delta {C_{\rm{s}}}}}}&0&{\dfrac{1}{{{C_{\rm{s}}} + \Delta {C_{\rm{s}}}}}}&0 \end{array}} \right]\text{;}}$$

      $\Delta {r_1}$$\Delta {r_{\rm{s}}}$$\Delta {L_1}$$\Delta {L_{\rm{s}}}$$\Delta {C_1}$$\Delta {C_{\rm{s}}}$分别为各参数的变化量;参数不确定矩阵$\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_1}$

      $${\begin{array}{l} \Delta {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{r_1}\Delta {L_1} - {L_1}\Delta {r_1}}}{{{L_1}{{\bar L}_1}}}}&{\dfrac{{\Delta {L_1}}}{{{L_1}{{\bar L}_1}}}}&0&{\dfrac{{ - \Delta {L_1}}}{{{L_1}{{\bar L}_1}}}} \\ {\dfrac{{ - \Delta {C_1}}}{{{C_1}{{\bar C}_1}}}}&{\dfrac{{ - \Delta {C_1}{P_1}{U_{\min }}}}{{{C_1}{{\bar C}_1}}}}&0&0 \\ 0&0&{\dfrac{{{r_{\rm{s}}}\Delta {L_{\rm{s}}} - {L_{\rm{s}}}\Delta {r_{\rm{s}}}}}{{{L_{\rm{s}}}{{\bar L}_{\rm{s}}}}}}&{\dfrac{{\Delta {L_{\rm{s}}}}}{{{L_{\rm{s}}}{{\bar L}_{\rm{s}}}}}} \\ {\dfrac{{\Delta {C_{\rm{s}}}}}{{{C_{\rm{s}}}{{\bar C}_{\rm{s}}}}}}&0&{\dfrac{{ - \Delta {C_{\rm{s}}}}}{{{C_{\rm{s}}}{{\bar C}_{\rm{s}}}}}}&0 \end{array}} \right] \end{array} ;}$$

      ${\bar L_1}$${\bar L_{\rm{s}}}$${\bar C_1}$${\bar C_{\rm{s}}}$为变化后参数;矩阵$\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_2}$中除了元素${U_{\min }}$变为${U_{\max }}$,其他均与$\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_1}$相同。

      另一个问题是要考虑控制器的不确定性,如储能单元的电压变化、控制参数的误差以及控制器数字实现的误差等。因此可以将参数不确定矩阵$\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}$看作为控制信号${\tilde i_{{\rm{es}}}}$内部的不确定,即设计一种鲁棒非脆弱控制器,能够抵抗系统参数变化和储能单元的影响。则鲁棒非脆弱控制器输出信号${\tilde i_{{\rm{es,nf}}{\rm{r}}}}$

      $${\tilde i_{{\rm{es,nfr}}}} = \sum\limits_{i = 1}^2 {{M_i}({{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i{\rm{,nfr}}}} + \Delta {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i,{\rm{nfr}}}})} {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}$$ (20)

      式中$\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i,{\rm{nf}}{\rm{r}}}}$为控制器增益不确定矩阵。

      将式(20)代入式(19),得到不确定闭环系统模糊模型:

      $${\dot {\tilde{{\mathit{\boldsymbol{ X}}}}}}{\rm{ = }}\sum\limits_{i = 1}^2 {{M_i}} \Big[ ({{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i} + {{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i{\rm{,nfr}}}}{\rm{ + }}\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i}{\rm{ + }}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i,{\rm{nfr}}}}){\tilde{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}\Big] $$ (21)

      同样通过LMI推导Lyapunov指数稳定条件,得到参数不确定系统鲁棒非脆弱控制器增益${{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i{\rm{,nfr}}}}$

      同理将式(21)代入式(15),若满足不等式(14),则:

      $$ \begin{aligned}[b] {{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i,{\rm{nf}}r}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i} + {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i{\rm{,nfr}}}} + 2\sigma {{\mathit{\boldsymbol{P}}}} +\\ \Delta {{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i} + {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i,{\rm{nfr}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i,{\rm{nfr}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}} < 0 \end{aligned} $$ (22)

      假设不确定矩阵是有界的,即

      $$\left\{ \begin{array}{l} \Delta {{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i}\Delta {{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i^{\rm{T}} < \delta _a^2{{\mathit{\boldsymbol{I}}}} \\ \Delta {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i{\rm{,nfr}}}}\Delta {{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i,{\rm{nfr}}}^{\rm{T}} < \delta _k^2{{\mathit{\boldsymbol{I}}}} \end{array} \right.$$ (23)

      式中${\delta _a}$${\delta _k}$为给定的正标量。

      对于任意矩阵AB以及正定矩阵Q,有下列关系成立[16]

      $${{\mathit{\boldsymbol{A}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}^{\rm{T}}} + {{\mathit{\boldsymbol{B}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}^{\rm{T}}} \leqslant {{\mathit{\boldsymbol{AQ}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}^{\rm{T}}} + {{\mathit{\boldsymbol{B}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}^{ - 1}}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}^{\rm{T}}}$$ (24)

      通过式(23)、式(24),可以得到:

      $$\begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i,{\rm{nf}}{\rm{r}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_i} + {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i{\rm{,nf}}{\rm{r}}}} + \\ 2\sigma {{\mathit{\boldsymbol{P}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_1}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{\rm{ + }}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_2}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{P}}}} + \delta _a^2{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_1^{ - 1} + \delta _k^2{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_2^{ - 1} < 0 \end{array} $$ (25)

      对不等式(式(25))分别左乘右乘矩阵${{\mathit{\boldsymbol{X}}}} = {{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}^{ - 1}}$,令${{{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_{i,{\rm{nfr}}}} = {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{i,{\rm{nfr}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{P}}}}^{ - 1}}$,则可以得到如下以LMI表示的不确定系统Lyapunov指数稳定条件,定义为定理2。

      定理2:若不确定TS模糊系统(式(19))在非脆弱控制器(式(20))作用下指数稳定且具有鲁棒性,给定的衰减率$\sigma > 0$,不确定上限指数${\delta _a} \geqslant 0$${\delta _k} \geqslant 0$,则存在正定矩阵X${{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_1}$${{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_2}$和矩阵${{{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_{1,{\rm{nfr}}}}$${{{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_{2,{\rm{nfr}}}}$使下列以LMI表示的Lyapunov指数稳定条件成立:

      $${{\mathit{\boldsymbol{X}}}} > 0$$ (26)
      $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{XA}}}}_1^{\rm{T}} + {{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_1^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_{1,{\rm{nfr}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}}{\rm{ + }}2\sigma {{\mathit{\boldsymbol{X}}}} \\ + {{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_{1,{\rm{nfr}}}}{\rm{ + }}{{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_1}{\rm{ + }}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_2}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}} \\ \end{array} \right\}}&{{\delta _a}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}&{{\delta _k}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}} \\ {{\delta _a}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}&{ - {{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_1}}&0 \\ {{\delta _k}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}&0&{ - {{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_2}} \end{array}} \right] < 0 $$ (27)
      $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{XA}}}}_2^{\rm{T}} + {{\mathit{\boldsymbol{A}}}}_2^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}} + {{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_{2,{\rm{nfr}}}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}}{\rm{ + }}2\sigma {{\mathit{\boldsymbol{X}}}} \\ + {{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{N}}}}_{2,{\rm{nfr}}}}{\rm{ + }}{{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_1}{\rm{ + }}{{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_2}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}_{{\rm{es}}}^{\rm{T}} \\ \end{array} \right\}}&{{\delta _a}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}&{{\delta _k}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}} \\ {{\delta _a}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}&{ - {{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_1}}&0 \\ {{\delta _k}{{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}&0&{ - {{{\mathit{\boldsymbol{Q}}}}_2}} \end{array}} \right] < 0 $$ (28)

      本文所提方法系统地设计了含CPLs的直流微网的鲁棒非脆弱模糊控制器,无论是系统参数确定的场景,还是参数发生变化的场景,都能够维持系统的鲁棒性和指数稳定,总体设计过程如图3所示。

      图  3  控制器设计流程图

      Figure 3.  Overall flowchart of controller design

    • 为验证所设计的含恒功率负荷直流微网中鲁棒非脆弱模糊控制器的可行性和有效性,在Matlab/Simulink平台搭建图2所示直流微电网的仿真模型。仿真参数:直流电源200 V,直流电源子系统滤波参数${r_{\rm{s}}}$${L_{\rm{s}}}$${C_{\rm{s}}}$分别为1.1 Ω、39.5 mH、500 μF,CPL子系统滤波参数${r_1}$${L_1}$${C_1}$分别为1.1 Ω、39.5 mH、500 μF,设定局部区间${\tilde w_1} = $$ 130.4$、衰减率$\sigma = 50$、上限值${\delta _a} = 1$${\delta _k} = 0.1$。应用LMI工具箱求解线性矩阵不等式。

      首先分析恒功率负荷对直流微网的影响,含直流母线电压控制单元的系统分别带相同功率${P_{{\rm{load}}}} = 1.5\;{\rm{kW}}$的电阻性负荷和恒功率负荷,$t = 0.5\;{\rm{s}}$时刻突增负荷功率至2.5 kW,得到直流母线电压瞬时值波形如图4所示。

      图  4  带不同负荷系统直流母线电压波形

      Figure 4.  Voltage waveform of DC bus connected with different loads

      图4可得,对于相同的负荷功率变化,当系统中带电阻性负荷时,直流微电网仍能保持稳定运行;而当系统中带恒功率负荷时,直流微电网系统发生振荡失稳现象,母线电压上会叠加一个高频的振荡分量。

      然后分别针对系统中各元件参数不变和发生变化2种情形,对设计的鲁棒非脆弱模糊控制器的控制效果进行验证。

      算例1:假设直流微网中各元件参数恒定不变,应用定理1生成控制器增益,并将控制效果分别与开环系统和传统鲁棒线性控制[17]进行比较。

      应用传统鲁棒线性控制方法时,控制器增益为:${{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{{\rm{linear}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {18.73}&{1.62}&{0.97}&{0.31} \end{array}} \right]$

      采用本文所提出的基于定理1的鲁棒非脆弱模糊控制器,不同隶属度函数对应的增益分别为:$ {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {20.3159}&{1.7251}&{ - 0.7565}&{0.3207} \end{array}} \right]$$ {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_2} = $$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {20.2901}&{1.7047}&{ - 0.7293}&{0.3196} \end{array}} \right] $

      图5为CPL子系统和直流电源子系统滤波电路的电感电流和电容电压波形以及控制信号的电流波形。仿真结果表明,所提控制器能够快速有效地将变量控制在稳定值,提高了直流微网的瞬态性能。与开环系统相比,系统达到稳定时间缩短了20倍以上,与传统鲁棒线性控制方法相比,时间缩短近2倍。

      图  5  算例1中直流微网状态及控制输入波形

      Figure 5.  Status of DC microgrid and the input waveform of the controller in example 1

      算例2:假设系统中子系统滤波电路参数发生变化,分别验证应用定理1和2的控制器在参数不确定系统中的鲁棒性,并与传统鲁棒线性控制进行比较。各参数数值变化百分比见表1

      表 1  参数变化百分比

      Table 1.  Percentage of parameter changes

      ${r_1}$${r_{\rm{s}}}$${L_1}$${L_{\rm{s}}}$${C_1}$${C_{\rm{s}}}$
      +10%−5%+5%+10%−8%+5%

      基于定理2得到不同隶属度对应的控制器增益为:${{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{1,{\rm{nfr}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {8.0785}&{0.8798}&{ - 0.2267}&{0.3666} \end{array}} \right]$${{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}_{2,{\rm{nfr}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {8.0361}&{0.8640}&{ - 0.2032}&{0.3637} \end{array}} \right]$

      参数不确定系统滤波电路的电感电流和电容电压波形,以及控制信号电流波形如图6所示。

      图  6  算例2中直流微网状态及控制输入波形

      Figure 6.  Status of DC microgrid and the input waveform of the controller in example 2

      图6中控制1、控制2分别对应基于定理1和定理2设计的鲁棒非脆弱模糊控制器。参数发生变化后,开环系统是不稳定的。仿真结果表明,基于定理2设计的鲁棒非脆弱模糊控制器使得系统更加快速平滑地趋于稳定。

    • 本文以含恒功率负荷的直流微网为研究对象,建立非线性系统的TS模糊模型,设计了一种鲁棒非脆弱模糊控制器,并通过不同场景下与传统线性控制器仿真对比,得出以下结论:

      1)TS模糊模型在表征含恒功率负荷直流微网系统的非线性时使用的模糊规则少,简单清晰,综合考虑参数确定及不确定场景,适用性好;

      2)通过以LMI表示的系统Lyapunov指数稳定条件确定控制器的增益,使所设计控制器呈现鲁棒非脆弱性,能够有效地对抗系统参数及控制器内部参数变化,系统能够快速指数收敛;

      3)相较于传统线性控制,本文所设计的鲁棒非脆弱模糊控制器提高了非线性系统的收敛速度,波动幅度小,稳定性好,增强了应对各类因素导致系统及控制器参数不确定的自适应性。

参考文献 (17)

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