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近年来，随着主动配电网（active distribution network，ADN）[1]中需求侧灵活性资源[2-3]的快速发展，对减少化石能源消耗、缓解供需平衡和提高供电可靠性起到了积极的作用。然而，由于需求侧灵活性资源的自然特性或社会行为规律，增加了配电网运行的不确定性和复杂性，可能会导致线路过载，使配电网易于出现阻塞现象，给配电网运行和调控带来新的挑战。
科学合理的配电网阻塞管理能有效提高电网运行的安全性和经济性[4]。现阶段主动配电网中阻塞管理的方法主要有直接管理模式和间接管理模式2种[5]。直接管理模式利用网架重构[6]、无功功率控制[7]以及直接减少负荷有功功率需求，达到缓解阻塞的目的。间接管理模式利用灵活性资源对市场电价的敏感特性，考虑潮流约束，通过激励用户调整阻塞时段的可控负荷，达到缓解电网阻塞和节省用户用电费用的目的[8]，方法包括日前动态电价[9]、配电网容量市场、影子价格和灵活性服务市场[10]等。随着配电网节点边际电价（distribution locational marginal price，DLMP）[11-13]的发展，很多学者将DLMP运用到主动配电网阻塞管理方案当中，并证明了该方法的有效性。文献[14-15]中通过代理商和配电系统运营商（distribution system operator，DSO）之间电价和负荷信息的交互，选用一种动态电价的定价方式实现可控负荷和电动汽车负荷（electric vehicle，EV）的用电计划调整，从而减少阻塞时段的用电负荷。该方法是将线路阻塞信息纳入动态电价里，反映网络潮流的实际成本，但其动态电价严重依赖于预测的日前电价的精确性。为了减少日前电价预测的误差对出清电价的影响，文献[16]利用节点总电力需求的线性市场价格模型描述日前电价，并借助次梯度法确定阻塞价格，针对功率倒流引起的线路正反向潮流越限问题，提出了基于迭代方法的配电网节点电价（iterative distribution location marginal pricing，IDLMP）的产消者分布式日前优化调度方法，通过购售电阻塞价格分别引导线路潮流双向阻塞问题，但是没有考虑节点电压越限场景；文献[17]考虑节点电压越限提出了一种基于DLMP的电动汽车聚合调度框架，将集中式电动汽车聚合商调度问题转化为分散式双层优化问题，该框架能使网络中的阻塞最小化，但是单一的灵活性资源缺乏说服性；文献[18]以需求侧灵活性资源为例，提出基于DLMP的日前–实时阻塞管理模型。旨在通过发布DLMP引导负荷聚合商（load aggregator，LA）实现阻塞管理，但其复杂的迭代求解方式很难保证解的收敛性。
针对以上研究的不足，本文以EV和暖通空调（heating, ventilation and air conditioning，HVAC）等可控负荷为研究对象，利用统一节点边际电价出清原则[19]建立了基于主从博弈的双层调度框架。框架内DSO通过发布DLMP引导LA对配电网实施阻塞管理。最后通过仿真算例验证了该方法能够有效地平衡不同相关者的利益，并有效缓解网络阻塞。
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本文欲通过建立一种市场机制，引导一些市场主体参与主动配电网系统安全经济运行，缓解配电网的阻塞问题。
未来的市场主体包括DSO、电力零售商和负荷聚合商[20]等。DSO对配电网的潮流进行安全校核，计算DLMP，对配电网实施阻塞管理。然而，DSO直接调度大量分散的需求侧灵活性资源参与电力批发市场是不现实的。为了整合需求侧灵活性资源，使闲置的灵活性资源能够参与到电力市场中，负荷聚合商的概念被提出。文中负荷聚合商与消费者签订协议，代表电力用户的利益与DSO和电力市场运营商进行互动，从而最小化他们的能源支付[21]。聚合商收取一些管理费弥补运营和风险成本，并从其服务中获得一些利润。为了完成以上的市场运作，需要满足两个假设条件：1）电力用户必须拥有智能电表、信息通信设施，以便与LA实时沟通，提交投标策略和接收价格信号。2）电力用户必须拥有足够的意愿和灵活性回应DSO的价格变动。这些假设在现代智能电网中是合理的。
基于以上假设，本文提出的基于主从博弈的主动配电网市场运行框架如图1所示。
图 1 主动配电网市场运行框架
Figure 1. Market operation framework of active distribution network
1）首先，在配电网一侧，LA负责整合需求侧灵活性资源和预测日前电价信息，并以用户成本最小化为目标向DSO上报负荷信息和报价策略，在输电网一侧，发电商按边际成本发布分段报价信息。
2）DSO得到LA的投标策略和发电商的分段报价信息以后对配电网的潮流进行安全校核，以社会福利最大化为目标求解最优潮流，得到DLMP，并将其通信到每个节点。
3）LA根据位于该节点的DLMP调度灵活性资源使得该节点的用电成本最小。
4）DSO不断调整定价策略并重复该过程，直到电价与LA的投标策略不再变化为止，最终实现电价机制和用户侧灵活性资源的动态平衡。
5）电力交易中心根据发电商的分段报价和各LA的投标量按统一市场节点边际电价出清。
以上问题涉及2个决策主体，LA将以灵活性资源的物理特性为约束，用电成本最小化为目标，制定最优经济调度，安排负荷和价格投标量。为使网络潮流和电压满足安全经济调度要求，DSO将根据上报的负荷信息和网络潮流安全制定最优节点电价，并将其通信到每个节点。在现货电力市场中，DSO、LA和参与需求响应的电力用户等多主体在规划决策时都试图以自身利益最大化为目标进行投标量的决策。然而传统方法中，对多目标问题的优化处理多停留在利用权重向量将多个目标转化为单个目标求解，所以不可避免地带有一定的主观性。且这种处理方式需要预先设定每个目标的权重，权重变化时，问题的解也会随之变化，并且权重的求解也是规划数学中的一大难点。而主从博弈模型区别于一般的多目标优化的优势在于其特有的自发性、层次性和交互性等特点[22]。自发性体现在最终的结果是多个相互影响的主体为最大化自身利益竞争决策的结果，且通过相互博弈得到各自所能接受的解，巧妙地避开了关于权重的讨论。层次性体现在决策主体具有决策时序，上层决策者先行决策，下层决策者在上层决策者的策略集中选择策略。而交互性体现在上层博弈问题的策略将作为下层博弈问题的参数，而下层博弈模型又会作为上层博弈问题的约束。在下层博弈问题最优策略唯一的情况下，上层博弈者可以预测下层博弈者对自己策略的反应[23]。所以本文考虑主从博弈模型的以上特点建立了LA和DSO相互博弈的主从博弈双层调度框架缓解配电网的阻塞问题。
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如图2所示，本文欲通过建立一种主从博弈市场机制缓解配电网阻塞问题。而EV和HVAC等灵活性资源作为电力需求侧的可控负荷，经过LA统一调配后可在短时间内主动响应价格信号调节用电时间，成为潜力巨大的需求响应灵活性供应者。需要特别指出，在日前市场投标模型中需求侧灵活性主要体现在调度出力跟随价格信号改变的能力。下面将给出统一节点边际电价出清的双层调度框架。
图 2 主从博弈框架
Figure 2. Framework of master-slave game
1）主从博弈是指领导者做出决策后，跟随者针对领导者的策略做出自己的最优决策，然后领导者再根据跟随者的策略做出最有利于自己的决策，如此反复，直至双方决策出现最终动态平衡。本文首先以用户的角度考虑问题，所以在本文中设定代表用户利益的LA为主从博弈的领导者，并且因为用户基数庞大，以每个用户为控制变量会造成维数灾的问题，所以LA对每个节点的灵活性负荷进行统一聚合建模、统一调度控制。上层优化模型如下所示。
$${\rm{min}}\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{t = 1}^T {C_{i,t}^{{\rm{DLMP}}}{\rm{(}}P_{i,t}^{{\rm{ev}}} + P_{i,t}^{{\rm{hvac}}}{\rm{)}}} } $$ (1) 式中：目标函数为电力用户的用电成本最小化，
$C_{i,t}^{{\rm{DLMP}}}$ 为配电网中i节点t时刻的出清电价，由DSO求解的DLMP决定；$P_{i,t}^{{\rm{ev}}}$ 和$P_{i,t}^{{\rm{hvac}}}$ 为LA在i节点t时刻聚合的EV和HVAC负荷的总有功功率。$$C_{{\rm{min}}}^{{\rm{da}}} \leqslant C_{i,t}^{{\rm{da}}} \leqslant C_{{\rm{max}}}^{{\rm{da}}}$$ (2) 式中：
$C_{i,t}^{{\rm{da}}}$ 为LA在i节点t时刻的投标价格向量；$C_{{\rm{max}}}^{{\rm{da}}}$ 、$C_{{\rm{min}}}^{{\rm{da}}}$ 分别表示投标价格的上下限。$$P_{i,t}^{{\rm{ev}}}{\rm{ = }}P_{i,t}^{{\rm{ev,ch}}} - P_{i,t}^{{\rm{ev,disch}}}$$ (3) $$0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{ev,ch}}} \leqslant u_{i,t}^{{\rm{ev}}}P_{i,t}^{{\rm{ev,ch,max}}}$$ (4) $$0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{ev,disch}}} \leqslant {\rm{(}}1 - u_{i,t}^{{\rm{ev}}}{\rm{)}}P_{i,t}^{{\rm{ev,disch,max}}}$$ (5) $$S_{i,t}^{{\rm{ev}}} = S_{i,t - 1}^{{\rm{ev}}} + {E^ - }{\rm{(}}\zeta P_{i,t}^{{\rm{ev,ch}}} - P_{i,t}^{{\rm{ev,disch}}}{\rm{/}}\zeta {\rm{)}}$$ (6) $$S_{i,t}^{{\rm{ev,min}}} \leqslant S_{i,t}^{{\rm{ev}}} \leqslant S_{i,t}^{{\rm{ev,max}}}$$ (7) $$S_{i,1}^{{\rm{ev}}} = S_{i,T}^{{\rm{ev}}}$$ (8) 式中：
$P_{i,t}^{{\rm{ev,ch}}}$ 、$P_{i,t}^{{\rm{ev,disch}}}$ 分别表示EV的充放电功率；$P_{i,t}^{{\rm{ev,ch,max}}}$ 、$P_{i,t}^{{\rm{ev,disch,max}}}$ 为EV充放电功率的上限；$\zeta $ 为充放电效率，本文取$\zeta $ =0.9；$u_{i,t}^{{\rm{ev}}}$ 为布尔变量[24]，$u_{i,t}^{{\rm{ev}}}$ =1时EV处于充电状态，$u_{i,t}^{{\rm{ev}}}$ =0时EV处于放电状态，且电动汽车不会同时处于充放电状态。$S_{i,t}^{{\rm{ev}}}$ 表示EV的荷电状态；$S_{i,t}^{{\rm{ev,max}}}$ 、$S_{i,t}^{{\rm{ev,min}}}$ 为EV的荷电状态的上下限；$E$ 为整合的电能量，公式（8）表示调度初始时刻的荷电状态应该等于调度结束时刻的荷电状态，表征EV充放电的周期性，以满足EV用户的用电满意度。$$0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{hvac}}} \leqslant P_{i,t}^{{\rm{hvac,max}}}$$ (9) $$T_{i,t + 1}^{{\rm{in}}} = T_{i,t}^{{\rm{in}}} + \omega {\rm{(}}T_{i,t + 1}^{{\rm{out}}}{\rm{ - }}T_{i,t}^{{\rm{in}}}{\rm{) - }}\gamma P_{i,t}^{{\rm{hvac}}}\Delta t$$ (10) $${T_{{\rm{min}}}} \leqslant T_{i,t}^{{\rm{in}}} \leqslant {T_{{\rm{max}}}}$$ (11) $$T_{i,1}^{{\rm{in}}} = T_{i,24}^{{\rm{in}}}$$ (12) 式中：
$P_{i,t}^{{\rm{hvac,max}}}$ 为HVAC的功率上限；$T_{i,t}^{{\rm{in}}}$ 为t时刻i节点居民用户的室内平均温度；$T_{i,t + 1}^{{\rm{out}}}$ 为t+1时刻i节点的平均室外温度；$\omega $ 和$\gamma $ 分别表示房屋换热系数和空调能耗系数，分别取0.2和3；${T_{{\rm{max}}}}$ 、${T_{{\rm{min}}}}$ 为室内温度的上下限；$T_{i,1}^{{\rm{in}}}$ 为调度初始时刻的室内平均温度；$T_{i,24}^{{\rm{in}}}$ 为调度结束时刻的室内平均温度，公式（12）表示调度初始时刻的室内温度应等于调度结束时刻的室内温度，调度期间需要满足居民用户的用电舒适度要求，并避免发生能量回弹现象。2）主从博弈模型下层问题的决策者为DSO，接收到灵活性资源信息以后DSO会以社会福利最大化为目标，求解最优潮流。由经济学原理可知，在完全竞争的电力市场中，市场出清是按照系统的边际电价结算，故发电企业可以按照边际成本报价。所以，以节点边际电价进行市场出清能够实现社会福利最大化[25]。下层问题的优化模型如下所示[26-27]。
$$ {\rm{min}}\sum\limits_{t = 1}^T \left(\sum\limits_{m = 1}^M {C_m^{\rm{G}}P_{m,t}^{\rm{g}}} - \sum\limits_{i = 1}^N C_{i,t}^{{\rm{da}}}{\rm{(}}P_{i,t}^{{\rm{ev}}}{\rm{ + }}P_{i,t}^{{\rm{hvac}}}{)}\right) $$ (13) $$P_m^{{\rm{g}},{\rm{min}}} \leqslant P_{m,t}^{\rm{g}} \leqslant P_m^{{\rm{g}},{\rm{max}}}{\rm{ : }}\delta _t^ - {\rm{, }}\delta _t^ + $$ (14) 式中：
$C_m^{\rm{G}}$ 为发电商第m个分段的边际成本报价价格；$P_{m,t}^{\rm{g}}$ 是t时刻发电商的第m个分段的发电量；$P_m^{{\rm{g}},{\rm{max}}}$ 、$P_m^{{\rm{g}},{\rm{min}}}$ 表示分段发电容量的上下限；$\delta _t^ - $ 、$\delta _t^ + $ 表示发电容量约束的对偶变量。$$\sum\limits_{m = 1}^M {P_{m,t}^{\rm{g}}} = \sum\limits_{i = 1}^N {{\rm{(}}P_{i,t}^{{\rm{ev}}} + P_{i,t}^{{\rm{hvac}}} + P_{i,t}^{{\rm{load}}}{\rm{) }}} {\rm{: }}{\mu _{i,t}}$$ (15) $${P_{i,t}}{\rm{ = }} - {\rm{(}}P_{i,t}^{{\rm{ev}}} + P_{i,t}^{{\rm{hvac}}} + P_{i,t}^{{\rm{load}}}{\rm{)}}$$ (16) 式中：公式（15）表示系统的功率平衡约束；
${\mu _{i,t}}$ 为系统功率平衡约束的对偶变量；${P_{i,t}}$ 为t时刻i节点的节点注入功率；$P_{i,t}^{{\rm{load}}}$ 为基本负荷功率。$$D{\rm{ = }}\frac{{{X_{sj}} - {X_{nj}}}}{{{X_k}}}$$ (17) $$P_l^{{\rm{branch}}} = \sum\limits_{i = 1}^G {\sum\limits_{m = 1}^M {P_{m,t}^{\rm{g}} \cdot {D} } } - \sum\limits_{i = 1}^N {{\rm{(}}P_{i,t}^{{\rm{ev}}} + P_{i,t}^{{\rm{hvac}}} + P_{i,t}^{{\rm{load}}}{\rm{)}} \cdot {D} } $$ (18) $$ - {F_{{\rm{max}}}} \leqslant P_l^{{\rm{branch}}} \leqslant {F_{{\rm{max}}}}{\rm{ : }}\eta _{i,t}^ - {\rm{ , }}\eta _{i,t}^ + $$ (19) 式中：
$D$ 为功率传输分布因子（power transfer distribution factors，PTDF）；${X_{sj}}$ 为节点导纳矩阵中第s行第j列对应的元素；${X_{nj}}$ 为节点导纳阵中第n行第j列对应的元素；${X_k}$ 为以s、n为始末端的支路k的阻抗值。因为直流最优潮流（direct current optimal power flow，DCOPF）[28]完全可以满足线路功率精度要求，所以本文采用PTDF计算线路潮流传输功率。$P_l^{{\rm{branch}}}$ 为线路l的传输功率，基于PTDF和叠加原理获得；${F_{{\rm{max}}}}$ 为线路l传输功率的最大值；$\eta _{i,t}^ - $ 、$\eta _{i,t}^ + $ 为线路传输容量约束的对偶变量。$${V_i} = {V_0} + \frac{{{\rm{Re}}{\rm{(}}ZQ_i^*{\rm{)}}}}{{{V_0}}}$$ (20) $${V_{{\rm{min}}}} \leqslant {V_i} \leqslant {V_{{\rm{max}}}}{\rm{ : }}\sigma _{i,t}^ - {\rm{ , }}\sigma _{i,t}^ + $$ (21) $$0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{ev,ch}}} \leqslant P_{i,t}^{{\rm{ev,ch,max}}}{\rm{ : }}\lambda _{i,t}^{ - {\rm{ch}}}{\rm{ , }}\lambda _{i,t}^{ + {\rm{ch}}}$$ (22) $$0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{ev,disch}}} \leqslant P_{i,t}^{{\rm{ev,disch,max}}}{\rm{ : }}\lambda _{i,t}^{ - {\rm{disch}}}{\rm{ , }}\lambda _{i,t}^{ + {\rm{disch}}}$$ (23) $$0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{hvac}}} \leqslant P_{i,t}^{{\rm{hvac,max}}}{\rm{ : }}\lambda _{i,t}^{ - {\rm{hvac}}}{\rm{ , }}\lambda _{i,t}^{ + {\rm{hvac}}}$$ (24) 式中：
${V_i}$ 为i节点电压标幺值；${V_0}$ 为系统平衡节点电压；$Q_i^*$ 为节点i注入视在功率的共轭值；$Z$ 为线路的阻抗值；${\rm{Re}}$ 为取实部符号，本文对电压进行线性化处理，其精确性证明见文献[29]。${V_{{\rm{max}}}}$ 、${V_{{\rm{min}}}}$ 分别表示节点电压的上下限，分别取1.05和0.95。公式（22）－（24）表示LA向DSO传送的灵活性资源信息。$\sigma _{i,t}^ - $ 、$\sigma _{i,t}^ + $ 为电压越限约束的对偶变量；$\lambda _{i,t}^{ - {\rm{ch}}}$ 、$\lambda _{i,t}^{ + {\rm{ch}}}$ 、$\lambda _{i,t}^{ - {\rm{disch}}}$ 、$\lambda _{i,t}^{ + {\rm{disch}}}$ 为EV充放电出力约束的对偶变量；$\lambda _{i,t}^{ - {\rm{hvac}}}$ 、$\lambda _{i,t}^{ + {\rm{hvac}}}$ 为HVAC功率约束的对偶变量。 -
鉴于双层优化问题都拥有各自的目标函数和约束条件，换言之下层问题作为约束条件限制了上层问题一部分取值的范围，所以上层问题式（1）—（12）和下层问题式（13）—（24）构成了Stackelberg博弈问题[30]。求解上述问题有驻点法和不动点型迭代算法[31]。驻点法无需迭代，不涉及收敛性问题，所以本文采用驻点法求解，即先将下层博弈模型用卡罗需-库恩-塔克（Karush-Kuhn-Tucker, KKT）条件代替，目的是将下层优化问题转变为上层优化问题的约束条件。进而双层问题可转变为单层混合整数线性规划问题调用商业求解器求解。
下层问题的KKT条件详细推导过程见附录A，目标函数的拉格朗日条件见附录A式（A1）。KKT最优性条件转化结果如下式所示：
$$C_m^{\rm{G}} + {\mu _{1,t}} - \sum\limits_{k = 1}^K {{\rm{(}}\eta _{k,t}^ - D - \eta _{k,t}^ + D} {\rm{) }} - \delta _t^ - + \delta _t^ + = 0$$ (25) $$\begin{split} & - C_{i,t}^{{\rm{ev}}} - {\mu _{i,t}} + \sum\limits_{k = 1}^K {{\rm{(}}\eta _{k,t}^ - D - \eta _{k,t}^ + D} {\rm{)}} - \\ & {\rm{(}}\sigma _{i,t}^ + - \sigma _{i,t}^ - {\rm{)}}R - \lambda _{i,t}^{ - {\rm{ch}}} + \lambda _{i,t}^{{\rm{ + ch}}} = 0 \end{split} $$ (26) $$\begin{split} & C_{i,t}^{{\rm{ev}}} + {\mu _{i,t}} - \sum\limits_{k = 1}^K {{\rm{(}}\eta _{k,t}^ - D - \eta _{k,t}^ + D} {\rm{) + }} \\ & {\rm{(}}\sigma _{i,t}^ + - \sigma _{i,t}^ - {\rm{)}}R - \lambda _{i,t}^{ - {\rm{ch}}} + \lambda _{i,t}^{{\rm{ + ch}}} = 0 \end{split} $$ (27) $$\begin{split} & - C_{i,t}^{{\rm{hvac}}} - {\mu _{i,t}} + \sum\limits_{k = 1}^K {{\rm{(}}\eta _{k,t}^ - D - \eta _{k,t}^ + D} {\rm{)}} - \\ & {\rm{(}}\sigma _{i,t}^ + - \sigma _{i,t}^ - {\rm{)}}R - \lambda _{i,t}^{ - {\rm{hvac}}} + \lambda _{i,t}^{ + {\rm{hvac}}} = 0 \end{split} $$ (28) 互补松弛条件如式（29）所示，其中
$x \bot y$ 表示x、y互补，并且x、y为标量时有且只有一项为0。$$\left\{ \begin{aligned} & 0 \leqslant {V_t} - {V_{{\rm{min}}}} \bot {\boldsymbol{\sigma}} _{i,t}^ - \geqslant 0 \\ & 0 \leqslant {V_{{\rm{max}}}} - {V_t} \bot {\boldsymbol{\sigma}} _{i,t}^ + \geqslant 0 \\ & 0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{ev,ch}}} \bot {\boldsymbol{\lambda}} _{i,t}^{ - {\rm{ch}}} \geqslant 0 \\ & 0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{ev,ch,max}}} - P_{i,t}^{{\rm{ev,ch}}} \bot {\boldsymbol{\lambda}} _{i,t}^{ + {\rm{ch}}} \geqslant 0 \\ & 0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{ev,disch}}} \bot {\boldsymbol{\lambda}} _{i,t}^{ - {\rm{disch}}} \geqslant 0 \\ & 0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{ev,disch,max}}} - P_{i,t}^{{\rm{ev,disch}}} \bot {\boldsymbol{\lambda}} _{i,t}^{ + {\rm{disch}}} \geqslant 0 \\ & 0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{hvac}}} \bot {\boldsymbol{\lambda}} _{i,t}^{ - {\rm{hvac}}} \geqslant 0 \\ &0 \leqslant P_{i,t}^{{\rm{hvac,max}}} - P_{i,t}^{{\rm{hvac}}} \bot {\boldsymbol{\lambda}} _{i,t}^{ + {\rm{hvac}}} \geqslant 0 \\ & 0 \leqslant P_l^{{\rm{branch}}} + {F_{{\rm{max}}}} \bot {\boldsymbol{\eta}} _{i,t}^ - \geqslant 0 \\ & 0 \leqslant {F_{{\rm{max}}}} - P_l^{{\rm{branch}}} \bot {\boldsymbol{\eta}} _{i,t}^ + \geqslant 0 \\ & 0 \leqslant {\rm{(}}P_{m,t}^{\rm{g}} - P_m^{{\rm{g}},{\rm{min}}}{\rm{)}} \bot {\boldsymbol{\delta}} _t^ - \geqslant 0 \\ & 0 \leqslant {\rm{(}}P_m^{{\rm{g}},{\rm{max}}} - P_{m,t}^{\rm{g}}{\rm{)}} \bot {\boldsymbol{\delta}} _t^ + \geqslant 0 \end{aligned} \right.$$ (29) 由于互补松弛条件是非线性的，不满足Mangasarian-Fromovitz约束条件[32]。难以直接求解，所以需要引入布尔变量将其线性化，具体的线性化步骤及结果见附录A式（A4）。至此除了目标函数公式（1）是非线性问题，所有的约束都变成了线性化问题。下面利用规划数学中的强对偶原理可以得到：
$$\begin{split} & {\rm{min}}\sum\limits_{t = 1}^T {{\rm{(}}\sum\limits_{m = 1}^M {C_m^{\rm{G}}P_{m,t}^{\rm{g}}} - \sum\limits_{i = 1}^N {C_{i,t}^{{\rm{da}}}{\rm{(}}P_{i,t}^{{\rm{ev}}}{\rm{ + }}P_{i,t}^{{\rm{hvac}}}{\rm{))}}} } = \\ & \sum\limits_{t = 1}^T {\sum\limits_{i = 1}^N {{\rm{(}}{\mu _{i,t}}P_{i,t}^{{\rm{load}}} - \lambda _{i,t}^{{\rm{ + ch}}}P_{i,t}^{{\rm{ev,ch,max}}} - \lambda _{i,t}^{ + {\rm{disch}}}P_{i,t}^{{\rm{ev,disch,max}}}} - } \\ & {\rm{ }}\lambda _{i,t}^{ + {\rm{hvac}}}P_{i,t}^{{\rm{hvac,max}}} - \sigma _{i,t}^ - {V_{{\rm{min}}}} - \sigma _{i,t}^ + {V_{{\rm{max}}}} - \eta _{i,t}^ + {F_{{\rm{max}}}} - \\ & {\rm{ }}\eta _{i,t}^ - {F_{{\rm{max}}}} - \delta _t^ - P_m^{{\rm{g}},{\rm{min}}} - \delta _t^ + P_m^{{\rm{g}},{\rm{max}}}{\rm{)}} \\[-10pt]\end{split} $$ (30) 将公式（30）代入公式（1）可以得到目标函数的线性化表达式（31）。
综上所述，主从博弈模型的等价混合整数线性规划模型如下所示。
目标函数：
$$\begin{split} & {\rm{min}}\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{t = 1}^T {C_{i,t}^{{\rm{DLMP}}}{\rm{(}}P_{i,t}^{{\rm{ev}}} + P_{i,t}^{{\rm{hvac}}}{\rm{)}}} } = \\ & \sum\limits_{t = 1}^T {\sum\limits_{m = 1}^M {C_m^{\rm{G}}P_{m,t}^{\rm{g}}} } - \sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{t = 1}^T {{\rm{(}}{\mu _{i,t}}P_{i,t}^{{\rm{load}}} - \lambda _{i,t}^{{\rm{ + ch}}}P_{i,t}^{{\rm{ev,ch,max}}} - } } \\ & {\rm{ }}\lambda _{i,t}^{ + {\rm{disch}}}P_{i,t}^{{\rm{ev,disch,max}}}{\rm{ }} - \lambda _{i,t}^{ + {\rm{hvac}}}P_{i,t}^{{\rm{hvac,max}}} - \sigma _{i,t}^ - {V_{{\rm{min}}}} - \\ & {\rm{ }}\sigma _{i,t}^ + {V_{{\rm{max}}}} - \eta _{i,t}^ + {F_{{\rm{max}}}} - \eta _{i,t}^ - {F_{{\rm{max}}}} - \delta _t^ - P_m^{{\rm{g}},{\rm{min}}} - \delta _t^ + P_m^{{\rm{g}},{\rm{max}}}{\rm{)}} \end{split} $$ (31) s.t.
上层约束条件：式（2）—（12）
下层约束条件：式（15）—（16）
KKT约束条件：式（25）—（28），式（A4）
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为了验证本文提出的基于主从博弈的配电网阻塞管理模型的有效性，本文采用如图3所示的标准IEEE33节点算例对所提出的模型和阻塞调度策略进行仿真验证。
图 3 IEEE33节点配电系统接线
Figure 3. Wiring of IEEE33 bus distribution system
本文设定系统运行电压等级为12.66 kV；基准容量为10 MW；线路1—4功率传输极限值为10 MW；线路5—32功率传输极限为8000 kW。因线路5连接2条支路可能成为阻塞的线路，所以下面着重对线路5的传输功率进行分析。整个配电系统配备有一个LA，除了1号平衡节点连接发电厂端，其余每个节点连接100个用户，每个用户配备一个HVAC、EV和若干固定负荷，两种负荷和LA签约合同，并经过聚合后统一参加负荷调控，参与率为100%和80%。为了便于分析，设定不同节点之间用户的负荷参数一致，负荷参数见表1。某天的室外气温如图4所示，EV负荷的初始荷电状态值采用蒙特卡洛模拟方法的结果。调度测试时间设定为凌晨00:00—24:00，共24个时段。发电商的边际成本分段报价信息见附录图B5。针对以上框架采用3种场景进行仿真测试。场景1：只考虑EV的充电特点和线路潮流容量约束，不考虑节点电压越限场景。场景2：考虑EV的车辆到电网（vehicle-to-grid，V2G）模式和线路潮流容量约束，不考虑节点电压越限场景。场景3：考虑EV的V2G模式和线路潮流容量约束，且考虑节点电压越限场景，即本文提出的阻塞管理模式。
表 1 负荷参数
Table 1. Load parameters
参数 $P_{i,t}^{{\rm{ev,ch,max}}}$/kW $P_{i,t}^{{\rm{hvac,max}}}$/kW ${T_{{\rm{min}}}}$/℃ ${T_{{\rm{max}}}}$/℃ 数值 7 7.2 24 28 
图 4 室外温度
Figure 4. Outdoor temperature
图 B5 发电商的边际成本分段报价
Figure B5. Marginal cost bidding blocks of power supplier
基于以上测试系统参数，仿真将在MATLAB 2016a平台上结合Yalmip工具箱调用Gurobi 9.0求解器进行求解。
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为了分析EV负荷的V2G充放电模式对线路阻塞的影响，分别对场景1和场景2模式下的灵活性资源进行阻塞管理。市场出清电价和线路传输功率分别如图5-7所示，无阻塞管理模式下LA以用户用电成本最小化为目标安排负荷在电价较低时段集中用电，导致场景1中11:00—16:00时段和21:00、23:00—24:00时段出现了线路阻塞，场景2中03:00和20:00—23:00时段出现了线路阻塞。进一步对比图7（a）和（b），无阻塞管理模式中在其他条件相同的情况下考虑V2G充放电模式的线路阻塞情况略优于只考虑充电模式的线路阻塞情况。因为LA可以利用EV的V2G的充放电灵活性配合HVAC负荷调节充放电时间，起到一定程度缓解线路阻塞的作用。反观不论是场景1或者2模式下，考虑线路阻塞管理的模式，通过DSO校验线路潮流容量约束制定最优DLMP，引导电力用户有序用电，都能够有效降低线路阻塞发生的几率。
图 5 场景1模式下的两种出清电价
Figure 5. Two clearing prices under the mode of scenario 1
图 6 场景2模式下的2种出清电价
Figure 6. Two clearing prices under the mode of scenario 2
图 7 场景1和2模式下5号线路传输功率
Figure 7. Transmission power of line 5 in scene 1 and 2
以场景2和3为例讨论本文提出的主从博弈模型对主动配电网中的线路潮流和节点电压的影响。图8是场景3模式下考虑线路阻塞和节点电压越限的出清电价和不进行阻塞管理的出清电价。图9为线路5各时段的功率传输情况，从图中可看出无阻塞管理模式下，由于LA选择在电价较低时段安排负荷集中用电，因此10:00—16:00时段和20:00—24:00时段都出现了线路阻塞，进行场景2和场景3的线路阻塞管理显然可以缓解线路阻塞。图10给出了场景2和场景3的阻塞管理模式下节点电压的变化情况，从图中可以看出在不进行阻塞管理的情况下，由于6号节点为重负荷节点，因此05:00—07:00和20:00—24:00时段节点电压低于0.95pu，超出安全波动范围。在场景2模式下进行线路阻塞管理后，虽然节点电压低于下限0.95pu的情况有所缓解，但仍未彻底解决电压越限的问题，而通过本文提出的阻塞管理方法，基于场景3考虑节点电压的阻塞管理方法可以成功将节点电压控制在电压波动的安全范围之内。
图 8 场景3模式下的2种出清电价
Figure 8. Two clearing prices under the mode of scenario 3
图 9 线路5的各时段传输功率
Figure 9. Transmission power of line 5 in each period
图 10 节点6各时段节点电压
Figure 10. Nodal voltage at node 6 at each time period
灵活性资源的功率分布因不同阻塞管理模式会有所差异，在3种场景的灵活性资源优化调度结果中，我们以节点6为例进行说明，其仿真结果见附录图B1—B3。由附录图B1—B3可知，无阻塞管理模式下，凌晨时段EV负荷的使用率较低且电价相对较低，因此EV入网成为主要被调度的灵活性资源，LA整合EV灵活性资源在00:00—06:00时段购入大量电能满足EV用户的基本需求，而在23:00时刻电价较高时利用V2G特性将多余电能售出获得经济效益。而HVAC负荷从5:00时刻开始成为被调度的主要资源。随着温度的升高，在10:00—15:00时段出力持续增长，引起该时段负荷高峰，因此其负荷功率趋势显然与外界环境温度相关。并且LA需要考虑室内温度的周期性，保证用户舒适度，所以在优化调度结束时段集中用电将会引起新一轮的负荷高峰。与此形成对比的是，在场景2和3模式中考虑阻塞管理后，LA引导相应负荷在负荷高峰时段实现负荷削减，改变原负荷的功率曲线，合理安排灵活性资源的功率分布，可以缓解配电网阻塞。
图 B1 无阻塞管理模式下的各负荷功率
Figure B1. Power of each load under non- congestion management mode
图 B3 场景3阻塞管理模式下的各负荷功率
Figure B3. Power of each load in the congestion management mode of Scenario III
需要指出，不同物理性质的灵活性资源对配电网阻塞的影响也不尽相同。EV负荷属于可中断可转移负荷，该类负荷受规定充电量控制，且能耗过程可中断，用户对其用电时段的选择敏感度较低，所以EV负荷的充放电时间选择灵活性较大。与EV负荷不同，HVAC负荷属于可中断不可转移类负荷，即该类负荷功率可间歇性中断，但不可大量转移。因为此类负荷的功率消耗与用户舒适度直接相关，所以因环境需求必须长时间处于运行状态。从附录图B1可看出造成配电网凌晨时段阻塞的主要原因是EV负荷的集中用电，可通过灵活调整充电时间缓解线路阻塞。而10:00—15:00时段和21:00、23:00—24:00时段出现阻塞的原因是HVAC负荷的集中用电，可通过牺牲舒适度的方式，即削减相应时刻的HVAC负荷功率达到消除阻塞的目的。
由图8可知阻塞管理模式的出清电价相对更高，所以将会间接的对用户的用电舒适度产生影响。由附录图B4可知，无阻塞管理模式下，调度初始时刻EV用户以最大功率开始充电在最短的时间内达到了充电阈值，与此同时LA根据室外温度变化情况调度HVAC用户以最经济且舒适的方式进行电能消费，所以室内温度始终保持在舒适温度区间内，但是会发生阻塞现象。反观进行阻塞管理后，面对阻塞时段增加的节点电价，LA会减少阻塞时段的用电负荷，增加非阻塞时段的用电负荷。其结果是，因EV用户充放电时间灵活性较大，所以即使LA改变EV负荷的用电计划，对EV用户的影响也相对较少。但相比于EV用户，HVAC用户的用电灵活性较差，不可大量转移，需要时刻满足用户的用电舒适度，所以LA为了削减阻塞时段的高峰负荷，不得不减少HVAC的功率，将导致室内温度升高，尤其在阻塞时段的温度相比无阻塞管理模式，将会有明显的温度升高现象发生，例如08:00—09:00和20:00—24:00时段。但文中约束条件考虑了用户的用电舒适度，所以即使改变用电习惯，也会在用户的接受范围之内。
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1）本文提出的阻塞管理方法不仅可以在一定程度上缓解由于线路潮流越限所造成的线路阻塞问题，而且也可以改善重负荷所造成的节点电压质量问题，保证系统运行的安全性和稳定性。
2）与传统模式相比，本文采用DSO和LA相互博弈的互动式投标策略，不仅有助于需求侧灵活性资源积极参与电力市场，而且也可以平衡不同市场参与者的利益。
3）不同灵活性资源因其物理性质不同，对配电网阻塞的影响也不同，可以利用灵活性资源的物理性质对其进行分类控制，采取不同的调度策略，达到缓解阻塞的目的，又不失用户用电舒适度。
本文建立基于主从博弈的调度框架，利用需求侧资源的灵活性对配电网进行了阻塞管理，然而灵活性资源具有价值特性和时空特性，受到政策、人为和环境的影响，因此下一步研究将考虑灵活性资源的不确定性，结合日前–实时两阶段调度策略建立更具鲁棒性的数学模型解决配电网的阻塞问题。
（本刊附录请见网络版，印刷版略）
The Congestion Management in Active Distribution Network Based on the Master-Slave Game
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摘要: 随着需求侧灵活性资源在配电网中的渗透率不断提高，其不协调的运行方式可能会导致配电网中线路阻塞和节点电压越限。为解决这些问题，提出了一种配电网节点边际电价统一出清的主从博弈双层调度框架。上层框架解决用户在负荷聚合商引导下的用电成本最小化问题，负荷聚合商为主从博弈的领导者；下层框架解决配电网系统运营商在考虑网络潮流安全和电压越限前提下的社会福利最大化问题，配电网系统运营商为主从博弈的追随者。利用Karush-Kuhn-Tucker最优性条件和对偶定理，将非线性双层问题转化为单层混合整数线性规划问题求解。仿真算例验证分析了所提出的模型对缓解网络阻塞的有效性，以及灵活性资源在配电网阻塞管理当中的作用。Abstract: With continually increase of permeability of demand-side flexible resources in distribution network, its uncoordinated operating mode may lead to line congestion and nodal voltage out-of-limit in distribution network. To cope with these problems, a master-slave game bi-level dispatching framework, in which the nodal marginal price of distribution network was uniformly cleared, was proposed. The problem of minimizing user’s electricity utilization cost under the guidance of the load aggregator, which was the leader of the master-slave game, was solved by the upper framework. The problem of maximizing social welfare by the distribution network system operator, which was the follower of the master-slave game, under the premise of considering power flow security and voltage out-of-limit was solved by the lower framework. By use of the Karush-Kuhn-Tucker optimality condition and the duality theorem, the nonlinear bi-layer problem was translated into monolayer mixed integer linear programming problem to solve. The correctness of the proposed model is verified by simulation result, and its effectiveness of mitigating distribution network congestion as well as the effect of flexible resources in the management of distribution network congestion are analyzed.
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B3 场景3阻塞管理模式下的各负荷功率
B3. Power of each load in the congestion management mode of Scenario III
表 1 负荷参数
Table 1. Load parameters
参数 $P_{i,t}^{{\rm{ev,ch,max}}}$ /kW$P_{i,t}^{{\rm{hvac,max}}}$ /kW${T_{{\rm{min}}}}$ /℃${T_{{\rm{max}}}}$ /℃数值 7 7.2 24 28 
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图(13) / 表 (1)
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